مقالات

مقدمة في الفصل الميداني المتجه - الرياضيات


الأعاصير هي عواصف ضخمة يمكن أن تحدث كميات هائلة من الأضرار التي تلحق بالأرواح والممتلكات ، خاصة عندما تصل إلى الأرض. إن التنبؤ بأين ومتى ستضرب ومدى قوة الرياح له أهمية كبيرة في التحضير للحماية أو الإخلاء. يعتمد العلماء على دراسات مجالات الناقل الدوراني في توقعاتهم.

في هذا الفصل ، نتعلم نمذجة أنواع جديدة من التكاملات على مجالات مثل المجالات المغناطيسية أو مجالات الجاذبية أو مجالات السرعة. نتعلم أيضًا كيفية حساب الشغل المبذول على جسيم مشحون ينتقل عبر مجال مغناطيسي ، والعمل المنجز على جسيم بكتلة تنتقل عبر حقل الجاذبية ، والحجم لكل وحدة زمنية من تدفق الماء عبر شبكة سقطت في نهر.

تعتمد كل هذه التطبيقات على مفهوم حقل المتجه ، الذي نستكشفه في هذا الفصل. تمتلك حقول المتجهات العديد من التطبيقات لأنه يمكن استخدامها لنمذجة الحقول الحقيقية مثل الحقول الكهرومغناطيسية أو الجاذبية. إن الفهم العميق للفيزياء أو الهندسة أمر مستحيل دون فهم مجالات ناقلات. علاوة على ذلك ، تتمتع الحقول المتجهة بخصائص رياضية تستحق الدراسة في حد ذاتها. على وجه الخصوص ، يمكن استخدام الحقول المتجهة لتطوير العديد من الإصدارات عالية الأبعاد من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.


GeoGebra (سميت باسم "الهندسة" و "الجبر" معًا) هي أداة قوية جدًا وهي مجانية للاستخدام عبر الإنترنت. اتبع الرابط أعلاه لأداة الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد ، واكتب دالة ، مثل f (t) = (3t ، 2t + 1 ، sin (6t)) لرسمها بيانيًا.

تقوم GeoGebra تلقائيًا بتحويل هذا إلى رمزها الداخلي الخاص بك ، والذي يبدو كما يلي ، ويتيح لك تحديد الحدود الدنيا والعليا على المتغير t.

يمكنك كتابة هذا الرمز مباشرة ، مع أو بدون f = ، إذا كنت تفضل ذلك.

يمكنك أيضًا استخدام GeoGebra لرسم مخططات بارامترية ثنائية الأبعاد.


المتجهات والعدادات

أ كمية ناقلات، أو المتجهيوفر معلومات ليس فقط عن الحجم ولكن أيضًا اتجاه الكمية. عند إعطاء توجيهات إلى منزل ، لا يكفي أن نقول إنه على بعد 10 أميال ، ولكن يجب أيضًا توفير اتجاه تلك العشرة أميال حتى تكون المعلومات مفيدة. سيتم الإشارة إلى المتغيرات التي هي متجهات بمتغير غامق ، على الرغم من أنه من الشائع رؤية المتجهات التي يتم الإشارة إليها بأسهم صغيرة فوق المتغير.

مثلما لا نقول أن المنزل الآخر يبعد -10 أميال ، فإن حجم المتجه يكون دائمًا رقمًا موجبًا ، أو بالأحرى القيمة المطلقة لـ "طول" المتجه (على الرغم من أن الكمية قد لا تكون طولًا ، قد تكون سرعة ، أو تسارع ، أو قوة ، إلخ.) السالب في المقدمة لا يشير المتجه إلى تغير في المقدار ، بل في اتجاه المتجه.

في الأمثلة أعلاه ، المسافة هي الكمية العددية (10 أميال) ولكن الإزاحة هي كمية المتجه (10 أميال إلى الشمال الشرقي). وبالمثل ، فإن السرعة هي كمية قياسية بينما السرعة هي كمية متجهة.

أ حتى النصر هو متجه له مقدار واحد. عادة ما يكون المتجه الذي يمثل متجه الوحدة غامقًا أيضًا ، على الرغم من أنه سيكون له قيراط (^) فوقه للإشارة إلى طبيعة الوحدة للمتغير. ناقل الوحدة x، عند كتابته بالقيراط ، يُقرأ عمومًا على أنه "x-hat" لأن القيراط يبدو نوعًا ما مثل القبعة على المتغير.

ال ناقل صفر، أو ناقل فارغ، هو متجه بحجم صفر. هو مكتوب كـ 0 في هذه المقالة.


ثلاثة أبعاد

أنت تستخدم النواقل في كل نشاط تقوم به تقريبًا. المتجه هو كمية لها بحجم و اتجاه. الكلمة الفاخرة للحجم هي & quotmagnitude & quot.

تتضمن أمثلة الأنشطة اليومية التي تنطوي على نواقل ما يلي:

  • التنفس (تمارس عضلات الحجاب الحاجز أ فرض لها حجم واتجاه)
  • المشي (أنت تمشي في ● السرعة حوالي 6 كم / ساعة في اتجاه الحمام)
  • الذهاب إلى المدرسة (الحافلة بها الطول حوالي 20 م ويتجه نحو مدرستك)
  • الغداء ( الإزاحة من غرفة الفصل الخاصة بك إلى المقصف حوالي 40 مترًا في اتجاه الشمال)

كل كمية متجه لها الحجم و أ اتجاه.


مقدمة في الفصل الميداني المتجه - الرياضيات

نحتاج أن نبدأ هذا الفصل بتعريف حقل المتجه لأنه سيكون مكونًا رئيسيًا في كل من هذا الفصل والفصل التالي. لنبدأ بالتعريف الرسمي لحقل المتجه.

تعريف

حقل متجه على مساحة ثنائية (أو ثلاثية) الأبعاد هو دالة ( vec F ) يتم تعيينها لكل نقطة ( يسار ( يمين) ) (أو ( يسار ( right) )) متجه ثنائي (أو ثلاثي الأبعاد) معطى بواسطة ( vec F left ( يمين) ) (أو ( vec F يسار ( حق))).

قد لا يكون هذا منطقيًا إلى حد كبير ، لكن معظم الناس يعرفون ما هو الحقل المتجه ، أو على الأقل شاهدوا مخططًا لحقل متجه. إذا كنت قد رأيت رسمًا تخطيطيًا للتيار يوضح اتجاه تدفق السائل وحجمه أو اتجاه الرياح وحجمها ، فقد رأيت مخططًا لحقل متجه.

الترميز القياسي للدالة ( vec F ) هو ،

[يبدأ vec F اليسار ( يمين) & = ف يسار ( يمين) vec أنا + Q يسار ( يمين) vec j vec F يسار ( يمين) & = ف يسار ( يمين) vec أنا + Q يسار ( يمين) vec ي + R يسار ( الحق) vec ك النهاية]

اعتمادًا على ما إذا كنا في بُعدين أو ثلاثة أبعاد. تسمى الوظيفة (P ) ، (Q ) ، (R ) (إذا كانت موجودة) أحيانًا وظائف عددية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثالين.

حسنًا ، لرسم حقل المتجه ، نحتاج إلى الحصول على بعض "قيم" الدالة. هذا يعني توصيل بعض النقاط بالدالة. هنا زوجان من التقييمات.

[يبدأ vec F left (<2>،frac<1> <2>> right) & = - frac <1> <2> vec i + frac <1> <2 > vec j vec F left ( <2>، - frac <1> <2>> right) & = - left (<- frac <1> <2 >> right) vec i + frac <1> <2> vec j = frac <1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j vec F يسار (<2>،frac<1> <4>> right) & = - frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j نهاية]

إذن ، ماذا تخبرنا هذه التقييمات؟ حسنًا ، يخبرنا الأول أنه عند النقطة ( left (<2>،frac<1> <2>> right) ) سنقوم برسم المتجه (- frac < 1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j ). وبالمثل ، يخبرنا التقييم الثالث أنه عند النقطة ( left (<2>،frac<1> <4>> right) ) سنقوم برسم المتجه (- frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j ).

يمكننا الاستمرار بهذه الطريقة في رسم المتجهات لعدة نقاط وسنحصل على الرسم التخطيطي التالي لحقل المتجه.

إذا أردنا رسم المزيد من النقاط بشكل ملحوظ ، فمن الأفضل عادةً استخدام نظام الرسوم البيانية بمساعدة الكمبيوتر مثل Maple أو Mathematica. فيما يلي رسم تخطيطي به العديد من النواقل المضمنة التي تم إنشاؤها باستخدام Mathematica.

في حالة الحقول المتجهة ثلاثية الأبعاد ، من الأفضل دائمًا استخدام Maple أو Mathematica أو أي أداة أخرى من هذا القبيل. على الرغم من ذلك ، دعونا نمضي قدمًا ونجري بعض التقييمات على أي حال.

[يبدأ vec F left (<1، - 3،2> right) & = 2 ، vec i + 6 ، vec j - 2 ، vec k vec F left (<0 ، 5،3> right) & = - 10 ، vec j end]

لاحظ أن (z ) يؤثر فقط على وضع المتجه في هذه الحالة ولا يؤثر على اتجاه أو حجم المتجه. يحدث هذا في بعض الأحيان ، لذا لا تتشوق له عندما يحدث.

هنا زوجان من الرسومات التي تم إنشاؤها بواسطة Mathematica. الرسم على اليسار من "الأمام" والرسم على اليمين من "فوق".

الآن بعد أن رأينا حقلين متجهين ، دعنا نلاحظ أننا رأينا بالفعل وظيفة حقل متجه. في الفصل الثاني نظرنا إلى متجه التدرج. تذكر أن إعطاء وظيفة (f left ( right) ) يتم تعريف متجه التدرج ،

هذا حقل متجه وغالبًا ما يُطلق عليه اسم مجال متجه التدرج.

في هذه الحالات ، الوظيفة (f left ( right) ) غالبًا ما تسمى دالة عددية لتمييزها عن حقل المتجه.

لاحظ أننا قدمنا ​​فقط تعريف متجه التدرج لدالة ثلاثية الأبعاد ، لكن لا تنسَ أن هناك أيضًا تعريفًا ثنائي الأبعاد. كل ما نحتاجه لإسقاط المكون الثالث من المتجه.

هذا هو حقل متجه التدرج لهذه الوظيفة.

[ nabla f = left langle <2x sin left (<5y> right) ، 5 cos يسار (<5y> يمين)> يمين rangle ]

ليس هناك الكثير لتفعله هنا سوى أخذ التدرج اللوني.

لنفعل مثالاً آخر يوضح العلاقة بين حقل متجه التدرج لدالة ومحيطها.

تذكر أن ملامح الدالة ليست أكثر من منحنيات محددة بواسطة ،

لقيم مختلفة من (ك ). لذلك ، بالنسبة لوظيفتنا ، يتم تحديد الخطوط العريضة بالمعادلة ،

ولذا فهي عبارة عن دوائر متمركزة في الأصل بنصف قطر ( sqrt k ).

هذا هو حقل متجه التدرج لهذه الوظيفة.

[ nabla f اليسار ( right) = 2x ، vec i + 2y ، vec j ]

فيما يلي رسم تخطيطي للعديد من الخطوط العريضة بالإضافة إلى مجال متجه التدرج.

لاحظ أن متجهات حقل المتجه كلها متعامدة (أو متعامدة) مع الخطوط العريضة. سيكون هذا هو الحال دائمًا عندما نتعامل مع ملامح دالة بالإضافة إلى مجال متجه التدرج.

كانت قيم (k ) التي استخدمناها للرسم البياني أعلاه 1.5 و 3 و 4.5 و 6 و 7.5 و 9 و 10.5 و 12 و 13.5. لاحظ الآن أنه مع زيادة (ك ) بمقدار 1.5 ، تقترب منحنيات الكنتور من بعضها البعض ، وأنه كلما اقتربت المنحنيات الكنتورية من بعضها ، زاد حجم المتجهات. بمعنى آخر ، كلما اقتربت منحنيات الكنتور (حيث تم زيادة (ك ) بمقدار ثابت) كلما تغيرت الوظيفة بشكل أسرع عند تلك النقطة. تذكر أيضًا أن اتجاه التغيير الأسرع لوظيفة ما يُعطى بواسطة متجه التدرج عند تلك النقطة. لذلك ، يجب أن يكون من المنطقي أن تتطابق الفكرتان كما هو الحال هنا.

الموضوع الأخير لهذا القسم هو موضوع الحقول المتجهة المحافظة. الحقل المتجه ( vec F ) يسمى أ مجال ناقلات المحافظ في حالة وجود دالة (f ) مثل ( vec F = nabla f ). إذا كان ( vec F ) عبارة عن حقل متجه محافظ ، فإن الوظيفة ، (f ) ، تسمى الوظيفة المحتملة لـ ( vec F ).

كل ما يقوله هذا التعريف هو أن حقل المتجه يكون متحفظًا إذا كان أيضًا حقل متجه متدرج لبعض الوظائف.

على سبيل المثال ، حقل المتجه ( vec F = y ، vec i + x ، vec j ) هو حقل متجه محافظ له وظيفة محتملة من (f left ( right) = xy ) لأن ( nabla f = left langle يمين rangle ).

من ناحية أخرى ، ( vec F = - y ، vec i + x ، vec j ) ليس مجالًا متجهًا محافظًا نظرًا لعدم وجود وظيفة (f ) مثل ( vec F = nabla f ). إذا لم تكن متأكدًا من أنك تعتقد أن هذا في هذه المرحلة صبور ، فسنكون قادرين على إثبات ذلك في قسمين. في هذا القسم سوف نوضح أيضًا كيفية العثور على الوظيفة المحتملة لحقل ناقل متحفظ.


انسايت الرياضيات

العديد من مجالات القوة المادية (حقول المتجهات) المألوفة لديك تحفظا ناقلات الحقول. يأتي المصطلح من حقيقة أن بعض أنواع الطاقة يتم حفظها بواسطة حقول القوة هذه. ومع ذلك ، فإن النتيجة المهمة بالنسبة لنا هي أنك عندما تنقل كائنًا من النقطة $ vc $ إلى النقطة $ vc$ ، العمل الذي يقوم به مجال القوة المحافظة يفعل ليس تعتمد على المسار المأخوذ من النقطة $ vc $ إلى النقطة $ vc$. لهذا السبب ، غالبًا ما نشير إلى حقول المتجهات مثل مسار مستقل ناقلات الحقول. المستقل عن المسار والمحافظ هما مصطلحان فقط يعنيان نفس الشيء.

على سبيل المثال ، تخيل أن عليك حمل صندوق ثقيل من باب منزلك إلى غرفة نومك بالطابق العلوي. بسبب الجاذبية (التي يمكن اعتبارها مجال قوة) ، عليك القيام بعمل لرفع الصندوق لأعلى.

هنا نعني التعريف العلمي للعمل ، وهو القوة مضروبة في المسافة. على الرغم من أنه قد يبدو مثل العمل على نقل الصندوق من غرفة إلى أخرى في نفس الأرضية ، إلا أن العمل الفعلي الذي تم القيام به ضد الجاذبية هو صفر.

بعد ذلك ، تخيل أن لديك درجين في منزلك: درج أمامي مائل برفق ، ودرج خلفي شديد الانحدار. نظرًا لأن مجال الجاذبية هو حقل ناقل متحفظ ، فإن العمل الذي يجب عليك القيام به ضد الجاذبية هو نفسه تمامًا إذا كنت تأخذ الدرج الأمامي أو الخلفي. طالما أن الصندوق يبدأ في نفس الموضع وينتهي في نفس الموضع ، فإن إجمالي العمل هو نفسه. (في الواقع ، إذا قررت أولاً حمل الصندوق إلى منزل جارك ، ثم حمله لأعلى ولأسفل شجرة الفناء الخلفي ، ثم في الباب الخلفي قبل رفعه إلى الطابق العلوي ، فلن يحدث فرقًا لهذا التعريف العلمي لـ العمل. سيكون صافي العمل الذي أديته ضد الجاذبية هو نفسه).

يمكن النظر إلى تكامل الخط في حقل المتجه على أنه إجمالي العمل الذي يؤديه حقل القوة على كائن يتحرك على طول المسار. بالنسبة لمثال الجاذبية أعلاه ، ناقشنا العمل الذي أنجزته ضد مجال الجاذبية ، وهو بالضبط عكس العمل المنجز بواسطة مجال الجاذبية. سنحتاج إلى مضاعفة الخط المتكامل بمقدار $ -1 دولار للحصول على الشغل الذي قمت به مقابل حقل الجاذبية ، لكن هذه نقطة تقنية لا داعي للقلق بشأنها.

حقل المتجه $ dlvf (x، y) = (x، y) $ حقل متجه متحفظ. (يمكنك أن تقرأ كيفية اختبار استقلالية المسار لاحقًا. في الوقت الحالي ، خذها على أساس الإيمان.) ويتضح ذلك من خلال الأسهم السوداء في الشكل أدناه. نريد حساب التكامل start dlint النهاية حيث $ dlc $ هو مسار من النقطة $ vc = (3، -3) $ (كما هو موضح بالمربع السماوي) إلى النقطة $ vc= (2،4) $ (موضح بواسطة المربع الأرجواني). نظرًا لأن $ dlvf $ مستقل عن المسار ، لا نحتاج إلى معرفة أي شيء آخر عن المسار $ dlc $ لحساب تكامل السطر. ستتعلم لاحقًا حساب أن قيمة التكامل هي 1 ، كما هو موضح في الخط الأرجواني على شريط التمرير أسفل الشكل.

يوضح التطبيق الصغير أدناه استقلالية المسار لـ $ dlvf $ ، حيث يمكن للمرء أن يرى أن التكاملات على طول ثلاثة مسارات مختلفة تعطي نفس القيمة. يبدو أن حقل المتجه مستقل عن المسار ، كما هو موعود. (يجب عليك التحقق من كل عدد لا نهائي من المسارات الممكنة من جميع النقاط $ vc $ إلى جميع النقاط $ vc$ لتحديد أن $ dlvf $ كان حقًا مستقلاً عن المسار. لحسن الحظ ، ستتعلم بعض الطرق الأبسط.)


مقدمة في الفصل الميداني المتجه - الرياضيات

يختص هذا الفصل بتطبيق حساب التفاضل والتكامل في سياق ناقلات الحقول. حقل المتجه ثنائي الأبعاد هو دالة $ f $ تعين كل نقطة $ (x، y) $ في $ R ^ 2 $ إلى متجه ثنائي الأبعاد $ langle u ، v rangle $ ، وبالمثل ثلاثة - تعيين حقل متجه الأبعاد $ (x، y، z) $ إلى $ langle u، v، w rangle $. نظرًا لعدم وجود موضع للمتجه ، فإننا نشير عادةً إلى حقل متجه في شكل رسومي بوضع المتجه $ f (x، y) $ مع ذيله عند $ (x، y) $. يوضح الشكل 16.1.1 تمثيل حقل المتجه $ f (x، y) = langle -x / sqrt، ص / مربع rangle $. لكي يكون مثل هذا الرسم البياني قابلاً للقراءة ، يجب أن تكون المتجهات قصيرة إلى حد ما ، والتي يتم تحقيقها باستخدام مقياس مختلف للمتجهات عن المحاور. وبالتالي ، فإن مثل هذه الرسوم البيانية مفيدة لفهم أحجام المتجهات بالنسبة لبعضها البعض ولكن ليس حجمها المطلق.

تمتلك حقول المتجهات العديد من التطبيقات المهمة ، حيث يمكن استخدامها لتمثيل العديد من الكميات الفيزيائية: قد يمثل المتجه عند نقطة ما قوة بعض القوة (الجاذبية والكهرباء والمغناطيسية) أو السرعة (سرعة الرياح أو سرعة بعض السوائل الأخرى ).

لقد رأينا بالفعل نوعًا مهمًا بشكل خاص من مجال المتجهات و mdashthe التدرج. بالنظر إلى الدالة $ f (x، y) $ ، تذكر أن التدرج اللوني هو $ langle f_x (x، y)، f_y (x، y) rangle $ ، المتجه الذي يعتمد على (هو دالة لـ) $ x $ و $ y $. عادة ما نتخيل متجه التدرج مع ذيله عند $ (x، y) $ ، مشيرًا إلى اتجاه أقصى زيادة. حقول المتجهات التي هي عبارة عن تدرجات لها بعض الخصائص الرائعة ، كما سنرى. مثال مهم هو $ < bf F> = left langle <-x over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> ، <- y over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> ، <- z over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> right rangle ، $ أي نقطة من النقطة $ (x، y، z) $ باتجاه الأصل وطولها $ < sqrt أكثر (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> = <1 over ( sqrt) ^ 2> ، $ وهو مقلوب مربع المسافة من $ (x، y، z) $ إلى الأصل و mdashin بكلمات أخرى ، $ < bf F> $ هو "قانون التربيع العكسي". المتجه $ bf F $ هو تدرج: $ eqalignno << bf F> & = nabla <1 over sqrt>، & (16.1.1)> $ والتي تبين أنها مفيدة للغاية.


محتويات

حقول المتجهات في مجموعات فرعية من المساحة الإقليدية تحرير

نظرا لمجموعة فرعية س في ص ن ، أ حقل شعاعي يتم تمثيله بواسطة دالة ذات قيمة متجهة الخامس: سص ن في الإحداثيات الديكارتية القياسية (x1, …, xن). إذا كان كل مكون من مكونات الخامس مستمر ، إذن الخامس هو حقل متجه مستمر ، وبشكل أعم الخامس هو ج ك حقل متجه إذا كان كل مكون من الخامس هي k مرات قابلة للاشتقاق بشكل مستمر.

يمكن تصور حقل متجه كتخصيص متجه لنقاط فردية داخل نطاق نمساحة الأبعاد. [1]

نظرا اثنين ج ك -الناقلات المجالات الخامس , دبليو المحددة في س وقيمة حقيقية ج ك -وظيفة محددة في س ، عمليتي الضرب العددي والجمع المتجه

تحديد وحدة ج ك - الحقول المتجهية فوق حلقة C ك - الدوال حيث يتم تعريف مضاعفة الدوال بالنقطية (لذلك ، فهي تبادلية مع كون الهوية المضاعفة Fهوية شخصية(ص) := 1 ).

تنسيق قانون التحول تحرير

في الفيزياء ، يتم تمييز المتجه بشكل إضافي عن طريق كيفية تغيير إحداثياته ​​عندما يقيس المرء نفس المتجه فيما يتعلق بنظام إحداثيات خلفية مختلف. تميز خصائص تحويل المتجهات المتجه باعتباره كيانًا متميزًا هندسيًا عن قائمة بسيطة من المقاييس ، أو من المتجه.

وبالتالي ، افترض أن (x1. xن) هو اختيار الإحداثيات الديكارتية ، من حيث مكونات المتجه الخامس نكون

وافترض أن (ذ1. ذن) نكون ن وظائف xأنا تحديد نظام إحداثيات مختلف. ثم مكونات المتجه الخامس في الإحداثيات الجديدة للوفاء بقانون التحول

يسمى قانون التحول هذا مخالفًا. يميز قانون تحويل مماثل حقول المتجهات في الفيزياء: على وجه التحديد ، حقل المتجه هو مواصفات ن الوظائف في كل نظام إحداثيات يخضع لقانون التحويل (1) ربط أنظمة الإحداثيات المختلفة.

تتناقض حقول المتجه مع الحقول القياسية ، والتي تربط بين رقم أو العددية إلى كل نقطة في الفضاء ، وتتناقض أيضًا مع قوائم بسيطة من الحقول العددية ، والتي لا تتحول في ظل تغييرات الإحداثيات.

تحرير الحقول المتجهة في الفتحات

إذا كان المتشعب M < displaystyle M> سلسًا أو تحليليًا - أي أن تغيير الإحداثيات يكون سلسًا (تحليليًا) - فيمكن للمرء أن يفهم مفهوم الحقول المتجهية السلسة (التحليلية). غالبًا ما يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الحقول المتجهية على مشعب سلس M بواسطة Γ (TM) أو C ∞ (M، TM) (M، TM)> (خاصة عند التفكير في حقول المتجه كأقسام) يتم الإشارة أيضًا إلى مجموعة جميع حقول المتجه الملساء بواسطة X (M) > (M)> (من نوع "X").

  • سيربط حقل متجه لحركة الهواء على الأرض لكل نقطة على سطح الأرض متجهًا بسرعة الرياح واتجاهها لتلك النقطة. يمكن رسم ذلك باستخدام الأسهم لتمثيل الريح ، وسيكون طول (مقدار) السهم مؤشراً على سرعة الرياح. عندئذٍ تعمل "عالية" على خريطة الضغط الجوي المعتادة كمصدر (تشير الأسهم بعيدًا) ، وستكون "منخفضة" حوضًا (تشير الأسهم باتجاه) ، نظرًا لأن الهواء يميل إلى الانتقال من مناطق الضغط المرتفع إلى مناطق الضغط المنخفض . مجال مائع متحرك. في هذه الحالة ، يرتبط متجه السرعة بكل نقطة في السائل. هي ثلاثة أنواع من الخطوط التي يمكن تكوينها من الحقول المتجهة (المعتمدة على الوقت). هم انهم:
    . يمكن الكشف عن الخطوط الميدانية باستخدام برادة حديدية صغيرة. تسمح لنا باستخدام مجموعة معينة من الشروط الأولية والحدودية لاستنتاج ، لكل نقطة في الفضاء الإقليدي ، مقدار واتجاه القوة التي يختبرها جسيم اختبار مشحون في تلك النقطة ، يكون المجال المتجه الناتج هو المجال الكهرومغناطيسي.
  • مجال الجاذبية الناتج عن أي جسم ضخم هو أيضًا حقل متجه. على سبيل المثال ، متجهات مجال الجاذبية لجسم كروي متماثل ستشير جميعها نحو مركز الكرة مع تقليل حجم المتجهات مع زيادة المسافة الشعاعية من الجسم.

حقل التدرج في المساحات الإقليدية تحرير

يمكن إنشاء الحقول المتجهة من الحقول العددية باستخدام عامل التدرج اللوني (يُشار إليه بالحرف del: ∇). [4]

حقل متجه الخامس محددة في مجموعة مفتوحة س يسمى أ مجال التدرج أو أ مجال محافظ إذا كانت هناك دالة ذات قيمة حقيقية (حقل قياسي) F على س مثل ذلك

يسمى التدفق المرتبط بـ تدفق التدرج ، ويستخدم في طريقة الانحدار المتدرج.

المسار متكامل على طول أي منحنى مغلق γ (γ(0) = γ(1)) في الحقل المحافظ تساوي صفرًا:

المجال المركزي في المساحات الإقليدية تحرير

أ ج ∞ - مجال ناقل أكثر ص ن <0> يسمى المجال المركزي إذا

أين يا (ن, ص) هي المجموعة المتعامدة. نقول إن الحقول المركزية ثابتة في ظل التحولات المتعامدة حول 0.

النقطة 0 تسمى المركز من الميدان.

نظرًا لأن التحويلات المتعامدة هي في الواقع دوران وانعكاسات ، فإن شروط الثبات تعني أن نواقل الحقل المركزي يتم توجيهها دائمًا نحو 0 أو بعيدًا عنها ، وهذا تعريف بديل (وأبسط). دائمًا ما يكون الحقل المركزي مجالًا متدرجًا ، نظرًا لأن تعريفه على نصف محوري واحد والتكامل يعطي مضادًا للانحدار.

تحرير خط متكامل

من الأساليب الشائعة في الفيزياء دمج حقل متجه على طول منحنى ، ويسمى أيضًا تحديد خطه المتكامل. يؤدي هذا بشكل بديهي إلى تلخيص جميع مكونات المتجه بما يتماشى مع مماسات المنحنى ، والتي يتم التعبير عنها على أنها نواتجها العددية. على سبيل المثال ، بالنظر إلى جسيم في مجال القوة (مثل الجاذبية) ، حيث يمثل كل متجه في نقطة ما في الفضاء القوة المؤثرة هناك على الجسيم ، فإن الخط المتكامل على طول مسار معين هو العمل المنجز على الجسيم ، عندما ينتقل على طول هذا الطريق. حدسيًا ، هو مجموع المنتجات العددية لمتجه القوة ومتجه الظل الصغير في كل نقطة على طول المنحنى.

يتم إنشاء الخط المتكامل بشكل مشابه لتكامل ريمان ويكون موجودًا إذا كان المنحنى قابلًا للتصحيح (له طول محدد) ومجال المتجه مستمر.

إعطاء مجال متجه V ومنحنى γ ، معلمات بواسطة t في [أ, ب] (حيث a و b أرقام حقيقية) ، يتم تعريف تكامل الخط على أنه

تحرير الاختلاف

تباعد حقل متجه في الفضاء الإقليدي هو دالة (أو حقل قياسي). في الأبعاد الثلاثة ، يتم تحديد الاختلاف بواسطة

مع التعميم الواضح للأبعاد التعسفية. يمثل الاختلاف عند نقطة ما الدرجة التي يكون عندها الحجم الصغير حول النقطة مصدرًا أو حوضًا لتدفق المتجه ، وهي النتيجة التي يتم تحديدها بدقة من خلال نظرية الاختلاف.

يمكن أيضًا تحديد الاختلاف على مشعب ريماني ، أي متشعب بمقياس ريماني يقيس طول المتجهات.

التفاف في ثلاثة أبعاد تحرير

الضفيرة هي عملية تأخذ مجالًا متجهًا وتنتج حقلاً متجهًا آخر. يتم تعريف الضفيرة بثلاثة أبعاد فقط ، ولكن يمكن التقاط بعض خصائص الضفيرة بأبعاد أعلى باستخدام المشتق الخارجي. في ثلاثة أبعاد ، يتم تعريفه بواسطة

يقيس الانحناء كثافة الزخم الزاوي لتدفق المتجه عند نقطة ، أي المقدار الذي يدور فيه التدفق حول محور ثابت. تم جعل هذا الوصف الحدسي دقيقًا من خلال نظرية ستوكس.

فهرس حقل متجه تحرير

فهرس حقل المتجه هو عدد صحيح يساعد في وصف سلوك حقل متجه حول صفر معزول (أي تفرد معزول للحقل). في المستوى ، يأخذ الفهرس القيمة -1 عند تفرد السرج ولكن +1 عند المصدر أو التفرد.

دع البعد المتشعب الذي يتم تعريف حقل المتجه عليه ن. خذ كرة صغيرة S حول الصفر بحيث لا توجد أصفار أخرى تقع داخل S. خريطة من هذا المجال إلى وحدة كروية للأبعاد ن - يمكن بناء 1 بقسمة كل متجه على هذه الكرة بطولها لتشكيل متجه طول الوحدة ، وهي نقطة على وحدة الكرة S n-1. هذا يحدد خريطة مستمرة من S إلى S n-1. مؤشر حقل المتجه عند النقطة هو درجة هذه الخريطة. يمكن إثبات أن هذا العدد الصحيح لا يعتمد على اختيار S ، وبالتالي يعتمد فقط على حقل المتجه نفسه.

فهرس حقل المتجه ككل يتم تعريفه عندما يحتوي على عدد محدود فقط من الأصفار. في هذه الحالة ، يتم عزل جميع الأصفار ، ويتم تعريف فهرس حقل المتجه على أنه مجموع المؤشرات في جميع الأصفار.

لم يتم تحديد الفهرس في أي نقطة غير مفردة (أي نقطة يكون فيها المتجه غير صفري). إنه يساوي +1 حول المصدر ، وبشكل عام يساوي (−1) k حول السرج الذي يحتوي على أبعاد تقلص k وأبعاد توسيع n-k. بالنسبة إلى كرة عادية (ثنائية الأبعاد) في فضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن إثبات أن مؤشر أي حقل متجه على الكرة يجب أن يكون 2. وهذا يوضح أن كل حقل متجه يجب أن يكون له صفر. يشير هذا إلى نظرية الكرة المشعرة ، التي تنص على أنه إذا تم تخصيص متجه في R 3 لكل نقطة من وحدات الكرة S 2 بطريقة مستمرة ، فمن المستحيل "تمشيط الشعر بشكل مسطح" ، أي اختيار المتجهات بطريقة مستمرة بحيث تكون جميعها غير صفرية وتكون مماسًا لـ S 2.

بالنسبة لحقل متجه على مشعب مضغوط مع عدد محدود من الأصفار ، تنص نظرية بوانكاريه-هوبف على أن مؤشر حقل المتجه يساوي خاصية أويلر للمشعب.

مايكل فاراداي ، في مفهومه عن خطوط القوة وأكد أن المجال بحد ذاتها يجب أن يكون موضوعًا للدراسة ، والذي أصبح في جميع أنحاء الفيزياء في شكل نظرية المجال.

بالإضافة إلى المجال المغناطيسي ، تشمل الظواهر الأخرى التي رسمها فاراداي المجال الكهربائي ومجال الضوء.

ضع في اعتبارك تدفق السائل عبر منطقة من الفضاء. في أي وقت ، أي نقطة من السائل لها سرعة معينة مرتبطة بها وبالتالي هناك حقل متجه مرتبط بأي تدفق. والعكس صحيح أيضًا: من الممكن ربط التدفق بمجال متجه له هذا الحقل المتجه باعتباره سرعته.

إعطاء مجال متجه الخامس المحددة في س، واحد يعرف المنحنيات γ (ر) على س مثل هذا لكل منهما ر في فترة أنا

حسب نظرية Picard – Lindelöf ، إذا الخامس هل Lipschitz مستمر هناك ملف فريدة من نوعها ج 1 -منحنى γx لكل نقطة x في س لذلك ، بالنسبة للبعض ε & gt 0 ،

المنحنيات γx وتسمى منحنيات متكاملة أو المسارات (أو أقل شيوعًا ، خطوط التدفق) لحقل المتجه الخامس والتقسيم س في فئات التكافؤ. ليس من الممكن دائمًا تمديد الفاصل الزمني (−ε ، +) إلى خط الأعداد الحقيقي بالكامل. قد يصل التدفق على سبيل المثال إلى حافة س في وقت محدود. في بعدين أو ثلاثة يمكن للمرء أن يتخيل مجال المتجه على أنه يؤدي إلى تدفق على س. إذا أسقطنا جسيمًا في هذا التدفق عند نقطة ما ص سوف تتحرك على طول المنحنى γص في التدفق اعتمادًا على النقطة الأولية ص. إذا ص هي نقطة ثابتة من الخامس (على سبيل المثال ، حقل المتجه يساوي متجه صفر عند النقطة ص) ، ثم سيبقى الجسيم في ص.

إعطاء وظيفة سلسة بين الفتحات ، F : من، المشتق عبارة عن خريطة مستحثة على الحزم المماسية ، F* : TMTN. نظرا لحقول ناقلات الخامس : مTM و دبليو : نTNنقول ذلك دبليو هو F-متعلق ب الخامس إذا كانت المعادلة دبليوF = Fالخامس يحمل.

إذا الخامسأنا هو F-متعلق ب دبليوأنا, أنا = 1 ، 2 ، ثم قوس الكذب [الخامس1, الخامس2] هو F-متعلق ب [دبليو1, دبليو2].

استبدال النواقل بواسطة ص-ثلاثة أبعاد (صالقوة الخارجية للناقلات) تنتج ص-الحقول المتجهية التي تأخذ المساحة المزدوجة والقوى الخارجية تعطي نتائج تفاضلية ك-الأشكال والجمع بين هذه النواتج حقول موتر عامة.

جبريًا ، يمكن وصف الحقول المتجهة على أنها مشتقات من الجبر للوظائف السلسة على المشعب ، مما يؤدي إلى تحديد حقل متجه في الجبر التبادلي باعتباره اشتقاقًا في الجبر ، والذي تم تطويره في نظرية التفاضل على حساب الجبر التبادلي.


انسايت الرياضيات

يمكن تفسير تكامل الخط في حقل المتجه $ dlvf $ على أنه العمل المنجز بواسطة حقل القوة $ dlvf $ على جسيم يتحرك على طول المسار. التكامل السطحي لحقل المتجه $ dlvf $ له تفسير أبسط. إذا كان حقل المتجه $ dlvf $ يمثل تدفق مائع ، فإن تكامل السطح $ dlvf $ سيمثل كمية السائل المتدفق عبر السطح (لكل وحدة زمنية).

كمية السائل المتدفق عبر السطح لكل وحدة زمنية تسمى أيضًا تدفق من السوائل عبر السطح. لهذا السبب ، غالبًا ما نسمي التكامل السطحي للحقل المتجه a تدفق لا يتجزأ.

إذا كان الماء يتدفق بشكل عمودي على السطح ، فسوف يتدفق الكثير من الماء عبر السطح وسيكون التدفق كبيرًا. من ناحية أخرى ، إذا كان الماء يتدفق بالتوازي مع السطح ، فلن يتدفق الماء عبر السطح ، وسيكون التدفق صفراً. لحساب الكمية الإجمالية للمياه المتدفقة عبر السطح ، نريد إضافة مكون المتجه $ dlvf $ المتعامد على السطح.

اسمحوا $ vc$ تكون وحدة متجه عادية على السطح. اختيار المتجه الطبيعي يوجه السطح ويحدد علامة تدفق السائل. يتم تحديد تدفق السائل عبر السطح بواسطة مكون $ dlvf $ الذي هو في اتجاه $ vc$ ، أي بواسطة $ dlvf cdot vc$. لاحظ أن $ dlvf cdot vcسيكون $ صفرًا إذا كان $ dlvf $ و $ vc$ عمودي ، موجب إذا $ dlvf $ و $ vcيشير $ إلى نفس الاتجاه ، وسالب إذا $ dlvf $ و $ vc$ تشير في اتجاهين متعاكسين.

دعنا نوضح هذا بالدالة start dlsp ( spfv ، spsv) = ( spfv cos spsv ، spfv sin spsv ، spsv). نهاية أن بارامترات هيليكويد لـ $ ( spfv، spsv) in dlr = [0،1] times [0، 2 pi] $. كما هو موضح في الشكل التالي ، اخترنا المتجه العادي ذي النقطة الصاعدة. (كان بإمكاننا استخدام النقطة الهابطة العادية بدلاً من ذلك. إذا فعلنا ذلك ، فإن حساب تدفق السوائل لدينا لدينا إشارة معاكسة).

الصغير تحميل

الصغير تحميل

حلزوني بارامتريزيد مع ناقل عادي. الدالة $ dlsp ( spfv، spsv) = ( spfv cos spsv، spfv sin spsv، spsv) $ حدّدت شكل حلزوني عندما $ ( spfv، spsv) in dlr $، حيث $ dlr $ هو المستطيل $ [0،1] times [0، 2 pi] $ الظاهر في اللوحة الأولى. المتجه السماوي عند النقطة الزرقاء $ dlsp ( spfv، spsv) $ هو المتجه العادي الذي يشير إلى الأعلى عند هذه النقطة. يمكنك سحب النقطة الزرقاء في $ dlr $ أو على helicoid لتحديد كل من $ spfv $ و $ spsv $.

بالنظر إلى تدفق السوائل $ dlvf $ ، إذا قمنا بدمج $ dlvf cdot vc$ ، سنحدد التدفق الكلي للسائل عبر الهليكويد ، مع حساب التدفق في اتجاه $ vc$ موجب ويتدفق في الاتجاه المعاكس والسلبي.

نحن نمثل حقل متجه تدفق السوائل $ dlvf $ بواسطة أسهم أرجوانية في التطبيق الصغير التالي.

الصغير تحميل

الصغير تحميل

تدفق السوائل من خلال حلزوني موجه. الدالة $ dlsp ( spfv، spsv) = ( spfv cos spsv، spfv sin spsv، spsv) $ حدّدت شكل حلزوني عندما $ ( spfv، spsv) in dlr $، حيث $ dlr $ هو المستطيل $ [0،1] times [0، 2 pi] $ الظاهر في اللوحة الأولى. المتجه السماوي عند النقطة الزرقاء $ dlsp ( spfv، spsv) $ هو المتجه العادي الذي يشير إلى الأعلى عند هذه النقطة. يمثل المجال المتجه الأرجواني تدفق السوائل الذي يمر عبر السطح. في هذا المثال ، حقل المتجه هو الثابت $ dlvf = (0،1،1) $. يمكنك سحب النقطة الزرقاء في $ dlr $ أو على helicoid لتحديد كل من $ spfv $ و $ spsv $.

يبدو أن المائع يتدفق بشكل عام في نفس اتجاه $ vc$ (بالنسبة للجزء الأكبر $ dlvf $ و $ vc$ أقرب إلى الإشارة في نفس الاتجاه من الإشارة في الاتجاه المعاكس). ومع ذلك ، لاحظ ، على سبيل المثال ، أنه عندما $ spfv = 0 $ و $ spsv = 2 pi $ (أو عندما $ spfv = 0 $ و $ spsv = 0 $) ، يتدفق السائل في الاتجاه المعاكس من $ vc$ (على الأقل يكون التدفق أقرب إلى الاتجاه المعاكس من نفس الاتجاه). عند هذه النقاط ، يعبر السائل السطح في الاتجاه المعاكس مما هو عليه في معظم النقاط على السطح.

يوضح الشكل أدناه هذا بشكل أكثر وضوحًا. Here, you can see the fluid vector $dlvf$ (in magenta) at the same point as the normal vector (in cyan). The value of the flux $dlvf cdot vc$ across the surface at the blue point is shown in the lower right corner. Note that $dlvf cdot vc$ is usually positive, but is negative at a few points, such as those mentioned above. When $dlvf cdot vc=0$, what is the relationship between the fluid vector $dlvf$ and the surface?

الصغير تحميل

الصغير تحميل

Fluid flow through a point of oriented helicoid. The function $dlsp(spfv,spsv) = (spfvcos spsv, spfvsin spsv, spsv)$ parametrizes a helicoid when $(spfv,spsv) in dlr$, where $dlr$ is the rectangle $[0,1] imes [0, 2pi]$ shown in the first panel. The cyan vector at the blue point $dlsp(spfv,spsv)$ is the upward pointing unit normal vector at that point. The magenta vector at that point represents fluid flow that passes through the surface. In this case, the fluid flow is the constant $dlvf=(0,1,1)$ at every point. Even though the fluid flow is constant, the flux through the surface changes, as it is the component of the flow normal to the surface. At the location of the blue point, the flux through the surface, $dlvf cdot vc$, is shown in the lower right corner. You can drag the blue point in $dlr$ or on the helicoid to specify both $spfv$ and $spsv$.

The total flux of fluid flow through the surface $dls$, denoted by $dsint$, is the integral of the vector field $dlvf$ over $dls$. The integral of the vector field $dlvf$ is defined as the integral of the scalar function $dlvf cdot vc$ over $dls$ egin نص &= dsint = ssint>. نهاية The formula for a surface integral of a scalar function over a surface $dls$ parametrized by $dlsp$ is egin ssint = iint_dlr f(dlsp(spfv,spsv))left| pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv) ight| dspfv,dspsv. نهاية

Plugging in $f = dlvf cdot vc$, the total flux of the fluid is egin dsint= iint_dlr (dlvf cdot vc) left| pdiff imes pdiff ight| dspfv,dspsv. نهاية

Lastly, the formula for a unit normal vector of the surface is egin vc = frac imes pdiff> imes pdiff ight|>. نهاية If we plug in this expression for $vc$, the $left| pdiff imes pdiff ight|$ factors cancel, and we obtain the final expression for the surface integral: egin dsint= iint_dlr dlvf(dlsp(spfv,spsv)) cdot left( pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv) ight) dspfv,dspsv. ضع الكلمة المناسبة نهاية

Note how the equation for a surface integral is similar to the equation for the line integral of a vector field egin dlint = int_a^b dlvf(dllp(t)) cdot dllp'(t) dt. نهاية For line integrals, we integrate the component of the vector field in the tangent direction given by $dllp'(t)$. For surface integrals, we integrate the component of the vector field in the normal direction given by $pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv)$.

You can read some examples of calculating surface integrals of vector fields.


Introductory Mathematics For Engineers Lectures In Higher Mathematics

In this post, we will see the book Introductory Mathematics for Engineers: Lectures in Higher Mathematics by A. D. Myškis.

The present book is based on lectures given by the author over a number of years to students of various engineering and physics. The book includes some optional can be skipped for the first reading. The corresponding Items m the table of contents are marked by an asterisk.

.

The book is composed in such a way that it is possible to use it both for studying in a college under the guidance of a teacher and for self-education. The subject matter of the book is divided into small sections so that the reader could study the material in suitable order and to any extent depending on the profession and the needs of the reader. It is also intended that the book can be used by students taking a correspondence course and by the readers who have some prerequisites in higher mathematics and want to perfect their knowledge by reading some chapters of the book.

.

The book can be of use to readers of various professions dealing with applications of mathematics in their work. Modern applied mathematics of many important special divisions which are not included m this book. The author intends to write another book devoted to some supplementary topics such as the theory of functions of a complex argument, variational calculus, mathematical physics, some special questions of the theory of ordinary differential equations and so on.

The book has interesting ways to treat affine mappings (pages 344-345) and non-linear mappings (pages 358-359).

The book was translated from the Russian by V. M. Volosov and was first published by Mir in 1972.

Note: quite a few pages are missing from the scan:

56-57 70-71 210-211 240-241 312-313 315 320-321 337-338 338-339-340 418-419 464-465 759-760 764-765

Credits to the original scanner. The original scan was not clean or bookmarked. We cleaned, OCRed and bookmarked the original scan.

Front Cover
Title Page
Preface 5
محتويات
Introduction 19
1. The Subject of Mathematics 19
2. The Importance of Mathematics and Mathematical Education 20
3. Abstractness 20
4. Characteristic Features of Higher Mathematics 22
5. Mathematics in the Soviet Union 23
CHAPTER I. VARIABLES AND FUNCTIONS 25
§ 1. Quantities 25
1. Concept of a Quantity 25
2. Dimensions of Quantities 25
3. Constants and Variables 26
4. Number Scale. Slide Rule 27
5. Characteristics of Variables 29
§ 2. Approximate Values of Quantities 32
6. The Notion of an Approximate Value 32
7. Errors 32
8. Writing Approximate Numbers 33
9. Addition and Subtraction of Approximate Numbers 34
10. Multiplication and Division of Approximate Numbers Remarks 36
§ 3. Functions and Graphs 39
11. Functional Relation 39
12. Notation 40
13. Methods of Representing Functions 42
14. Graphs of Functions 45
15. The Domain of Definition of a Function 47
16. Characteristics of Behaviour of Functions 48
17. Algebraic Classification of Functions 51
18. Elementary Functions 53
19. Transforming Graphs 54
20. Implicit Functions 56
21. Inverse Functions 58
§ 4. Review of Basic Functions 60
22. Linear Function 60
23. Quadratic Function 62
24. Power Function 63
25. Linear-Fractional Function 66
26. Logarithmic Function 68
27. Exponential Function 69
28. Hyperbolic Functions 70
29. Trigonometric Functions 72
30. Empirical Formulas 75
CHAPTER II. PLANE ANALYTIC GEOMETRY 78
§ 1. Plane Coordinates 78
1. Cartesian Coordinates 78
2. Some Simple Problems Concerning Cartesian Coordinates 79
3. Polar Coordinates 81
§ 2. Curves in Plane 82
4. Equation of a Curve in Cartesian Coordinates 82
5. Equation of a Curve in Polar Coordinates 84
6. Parametric Representation of Curves and Functions 87
7. Algebraic Curves 90
8. Singular Cases 92
§ 3. First-Order and Second-Order Algebraic Curves 94
9. Curves of the First Order 94
10. Ellipse 96
11. Hyperbola 99
12. Relationship Between Ellipse, Hyperbola and Parabola 102
13. General Equation of a Curve of the Second Order 105
CHAPTER III. LIMIT. CONTINUITY 109
§ 1. Infinitesimal and Infinitely Large Variables 109
1. Infinitesimal Variables 109
2. Properties of Infinitesimals 111
3. Infinitely Large Variables 112
§ 2. Limits 113
4. Definition 113
5. Properties of Limits 115
6. Sum of a Numerical Series 117
§ 3. Comparison of Variables 121
7. Comparison of Infinitesimals 121
8. Properties of Equivalent Infinitesimals 122
9. Important Examples 122
10. Orders of Smallness 124
11. Comparison of Infinitely Large Variables 125
§ 4. Continuous and Discontinuous Functions 125
12. Definition of a Continuous Function 125
13. Points of Discontinuity 126
14. Properties of Continuous Functions 129
15. Some Applications 131
CHAPTER IV. DERIVATIVES, DIFFERENTIALS, INVESTIGATION OF THE BEHAVIOUR OF FUNCTIONS 134
§ 1. Derivative 134
1. Some Problems Leading to the Concept of a Derivative 134
2. Definition of Derivative 136
3. Geometrical Meaning of Derivative 137
4. Basic Properties of Derivatives 139
5. Derivatives of Basic Elementary Functions 142
6. Determining Tangent in Polar Coordinates 146
§ 2. Differential 148
7. Physical Examples 148
8. Definition of Differential and Its Connection with Increment 149
9. Properties of Differential 152
10. Application of Differentials to Approximate Calculations 153
§ 3. Derivatives and Differentials of Higher Orders 155
11. Derivatives of Higher Orders 155
12. Higher-Order Differentials 156
§ 4. L'Hospital's Rule 158
13. Indeterminate Forms of the Type $dfrac<0><0>$ 158
14. Indeterminate Forms of tl1e Type $dfrac$ 160
§ 5. Taylor's Formula and Series 161
15. Taylor's Formula 161
16. Taylor's Series 163
§ 6. Intervals of Monotonicity. Exrtremum 165
17. Sign of Derivative 165
18. Points of Extremum 166
19. The Greatest and the Least Values of a Function 168
§ 7. Constructing Graphs of Functions 173
20. Intervals of Convexity of a Graph and Points of Inflection 173
21. Asymptotes of a Graph 174
22. General Scheme for Investigating a Function and Constructing Its Graph 175
CHAPTER V. APPROXIMATING ROOTS OF EQUATIONS. INTERPOLATION 179
§ 1. Approximating Roots of Equations 179
1. Introduction 179
2. Cut-and-Try Method. Method of Chords. Method of Tangents 181
3. Iterative Method 185
4. Formula of Finite Increments 187
5*. Small Parameter Method 189
§ 2. Interpolation 191
6. Lagrange's Interpolation Formula 191
7. Finite Differences and Their Connection with Derivatives 192
8. Newton's Interpolation Formulas 196
9. Numerical Differentiation 198
CHAPTER VI. DETERMINANTS AND SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS 200
§ 1. Determinants 200
1. Definition 200
2. Properties 201
3. Expanding a Determinant in Minors of Its Row or Column 203
§ 2. Systems of Linear Algebraic Equations 206
4. Basic Case 206
5. Numerical Solution 208
6. Singular Case 209
CHAPTER VII. VECTORS 212
§ 1. Linear Operations on Vectors 212
1. Scalar and Vector Quantities 212
2. Addition of Vectors 213
3. Zero Vector and Subtraction of Vectors 215
4. Multiplying a Vector by a Scalar 215
5. Linear Combination of Vectors 216
§ 2. Scalar Product of Vectors 219
6. Projection of Vector on Axis 219
7. Scalar Product 220
8. Properties of Scalar Product 221
§ 3. Cartesian Coordinates in Space 222
9. Cartesian Coordinates in Space 222
10. Some Simple Problems Concerning Cartesian Coordinates 223
§ 4. Vector Product of Vectors 227
11. Orientation of Surface and Vector of an Area 227
12. Vector Product 228
13. Properties of Vector Products 230
14*. Pseudovectors 233
§ 5. Products of Three Vectors 235
15. Triple Scalar Product 235
16. Triple Vector Product 236
§ 6. Linear Spaces 237
17. Concept of Linear Space 237
18. Examples 239
19. Dimension of Linear Space 241
20. Concept of Euclidean Space 244
21. Orthogonality 245
§ 7. Vector Functions of Scalar Argument. Curvature 248
22. Vector Variables 248
23. Vector Functions of Scalar Argument 248
24. Some Notions Related to the Second Derivative 251
25. Osculating Circle 252
26. Evolute and Evolvent 255
CHAPTER VIII. COMPLEX NUMBERS AND FUNCTIONS 259
§ 1. Complex Numbers 259
1. Complex Plane 259
2. Algebraic Operations on Complex Numbers 261
3. Conjugate Complex Numbers 263
4. Euler's Formula 264
5. Logarithms of Complex Numbers 266
§ 2. Complex Functions of a Real Argument 267
6. Definition and Properties 267
7*. Applications to Describing Oscillations 269
§ 3. The Concept of a Function of a Complex Variable 271
8. Factorization of a Polynomial 271
9*. Numerical Methods of Solving Algebraic Equations 273
10. Decomposition of a Rational Fraction into Partial Rational Fractions 277
11*. Some General Remarks on Functions of a Complex Variable 280
CHAPTER IX. FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES 283
§ 1. Functions of Two Variables 283
1. Methods of Representing 283
2. Domain of Definition 286
3. Linear Function 287
4. Continuity and Discontinuity 288
5. Implicit Functions 291
§ 2. Functions of Arbitrary Number of Variables 291
6. Methods of Representing 291
7. Functions of Three Arguments 292
8. General Case 292
9. Concept of Field 293
§ 3. Partial Derivatives and Differentials of the First Order 294
10. Basic Definitions 294
11. Total Differential 296
12. Derivative of Composite Function 298
13. Derivative of Implicit Function 300
§ 4. Partial Derivatives and Differentials of Higher Orders 303
14. Definitions 303
15. Equality of Mixed Derivatives 304
16. Total Differentials of Higher Order 305
CHAPTER X. SOLID ANALYTIC GEOMETRY 307
§ 1. Space Coordinates 307
1. Coordinate Systems in Space 307
2*. Degrees of Freedom 309
4. Cylinders, Cones and Surfaces of Revolution 314
5. Curves In Space 316
6. Parametric Representation of Surfaces in Space. Parametric Representation of Functions of Several Variables 317
§ 3. Algebraic Surfaces of the First and of the Second Orders 319
7. Algebraic Surfaces of the First Order 319
8. Ellipsoids 322
9. Hyperboloids 324
10. Paraboloids 326
11. General Review of the Algebraic surfaces of the second order 327
CHAPTER XI. MATRICES AND THEIR APPLICATIONS 329
§ 1. Matrices 329
1. Definitions 329
2. Operations on Matrices 331
3. Inverse Matrix 333
4. Eigenvectors and Eigenvalues of a Matrix 335
5. The Rank of a Matrix 337
7. Transformation of the Matrix of a Linear Mapping When the Basis Is Changed 347
8. The Matrix of a Mapping Relative to the Basis Consisting of Its Eigenvectors 350
9. Transforming Cartesian Basis 352
10. Symmetric Matrices 353
§ 3. Quadratic Forms 355
11. Quadratic Forms 355
12. Simplification of Equations of Second-Order Curves and Surfaces 357
§ 4. Non-Linear Mappings 358
13*. General Notions 358
14*. Non Linear Mapping in the Small 360
15*. Functional Relation Between Functions 362
CHAPTER XII. APPLICATIONS OF PARTIAL DERIVATIVES 365
§ 1. Scalar Field 365
1. Directional Derivative. Gradient 365
2. Level Surfaces 368
3. Implicit Functions of Two Independent Variables 370
4. Plane Fields 371
5. Envelope of One-Parameter Family of Curves 372
§ 2. Extremum of a Function of Several Variables 374
6. Taylor's Formula for a Function of Several Variables 374
7. Extremum 375
8. The Method of Least Squares 380
9*. Curvature of Surfaces 381
10. Conditional Extremum 384
11. Extremum with Unilateral Constraints 388
12*. Numerical Solution of Systems of Equations 390
CHAPTER XIII. INDEFINITE INTEGRAL 393
§ 1. Elementary Methods of Integration 393
1. Basic Definitions 393
2. The Simplest Integrals 394
3. The Simplest Properties of an Indefinite Integral 397
4. Integration by Parts 399
5. Integration by Change of Variable (by Substitution) 402
§ 2. Standard Methods of Integration 404
6. Integration of Rational Functions 405
7. Integration of Irrational Functions Involving Linear and Linear-Fractional Expressions 407
8. Integration of Irrational Expressions Containing Quadratic Trinomials 408
9. Integrals of Binomial Differentials 411
lO. Integration of Functions Rationally Involving Trigonometric Functions 412
11. General Remarks 415
CHAPTER XIV. DEFINITE INTEGRAL 417
§ 1. Definition and Basic Properties 417
1. Examples Lending to the Concept of Definite Integral 417
3. Relationship Between Definite Integral and Indefinite Integral 426
4. Basic Properties of Definite Integral 433
5. Integrating Inequalities 436
§ 2. Applications of Definite Integral 436
6. Two Schemes of Application 436
7. Differential Equations with Variables Separable 437
8. Computing Areas of Plane Geometric Figures 443
9. The Arc Length of a Curve 445
10. Computing Volumes of Solids 447
11. Computing Area of Surface of Revolution 448
§ 3. Numerical Integration 448
12. General Remarks 448
13. Formulas of Numerical Integration 450
§ 4. Improper Integrals 454
14. Integrals with Infinite Limits of Integration 455
15. Basic Properties of Integrals with Infinite Limits 464
16. Other Types of Improper Integral 468
17*. Gamma Function 468
18*. Beta Function 471
19*. Principal Value of Divergent Integral 473
§ 5. Integrals Dependent on Parameters 474
20*. Proper Integrals 474
21*· Improper Integrals 476
§ 6. Line Integrals of Integration 478
22. Line Integrals of the First Type 482
23. Line Integrals of the Second Type 484
24. Conditions for a Line Integral of the Second Type to Be Independent of the Path of Integration 488
§ 7. The Concept of Generalized Function 488
25*. Delta Function 488
26*. Application to Constructing Influence Function 492
27*. Other Generalized Functions 495
CHAPTER XV. DIFFERENTIAL EQUATIONS 497
§ 1. General Notions 497
1. Examples 497
2. Basic Definitions 498
§ 2. First-Order Differential Equations 500
3. Geometric Meaning 500
4. Integrable Types of Equations 503
5*. Equation for Exponential Function 506
6. Integrating Exact Differential Equations 509
7. Singular Points and Singular Solutions 512
8. Equations Not Solved for the Derivative 516
9. Method of Integration by Means of Differentiation 517
§ 3. Higher-Order Equations and Systems of Differential Equations 519
10. Higher-Order Differential Equations 519
11*. Connection Between Higher-Order Equations and Systems of First-Order Equations 521
12*. Geometric Interpretation of System of First-Order Equations 522
13*. First Integrals 526
§ 4. Linear Equations of General Form 528
14. Homogeneous Linear Equations 528
15. Non-Homogeneous Equations 530
16*. Boundary-Value Problems 535
§ 5. Linear Equations with Constant Coefficients 541
17. Homogeneous Equations 541
18. Non-Homogeneous Equations with Right-Hand Sides of Special Form 545
19. Euler's Equations 548
20*. Operators and the Operator Method of Solving Differential Equations 549
§ 6. Systems of Linear Equations 553
21. Systems of Linear Equations 553
22*. Applications to Testing Lyapunov Stability of Equilibrium State 558
§ 7. Approximate and Numerical Methods of Solving Differential Equations 562
23. Iterative Method 562
24*. Application of Taylor's Series 564
25. Application of Power Series with Undetermined coefficients 565
26*. Bessel's Functions 566
27*. Small Parameter Method 569
28*. General Remarks on Dependence of Solutions on Parameters 572
29*. Methods of Minimizing Discrepancy 575
30*. Simplification Method 576
31. Euler's Method 578
32. Runge-Kutta Method 580
33. Adams Method 582
34. Milne's Method 583
CHAPTER XVI. Multiple Integrals 585
§ 1. Definition and Basic Properties of Multiple Integrals 585
1. Some Examples Leading to the Notion of a Multiple Integral 585
2. Definition of a Multiple Integral 586
3. Basic Properties of Multiple Integrals 587
4. Methods of Applying Multiple Integrals 589
5. Geometric Meaning of an Integral Over a Plane Region 591
§ 2. Two Types of Physical Quantities 592
6*. Basic Example. Mass and Its Density 592
7*. Quantities Distributed in Space 594
§ 3. Computing Multiple Integrals in Cartesian Coordinates 596
8. Integral Over Rectangle 596
9. Integral Over an Arbitrary Plane Region 599
10. Integral Over an Arbitrary Surface 602
11. Integral Over a Three-Dimensional Region 604
§ 4. Change of Variables in Multiple Integrals 605
12. Passing to Polar Coordinates in Plane 605
13. Passing to Cylindrical and Spherical Coordinates 606
14*. Curvilinear Coordinates in Plane 608
15*. Curvilinear Coordinates in Space 611
16*. Coordinates on a Surface 612
§ 5. Other Types of Multiple Integrals 615
17*. Improper Integrals 615
18*. Integrals Dependent on a Parameter 617
19*. Integrals with Respect to Measure. Generalized Functions 620
20*. Multiple Integrals of Higher Order 622
§ 6. Vector Field 626
21*. Vector Lines 626
22*. The Flux. of a Vector Through a Surface 627
23*. Divergence 629
24*. Expressing Divergence in Cartesian Coordinates 632
25. Line Integral and Circulation 634
26*. Rotation 634
27. Green's Formula. Stokes' Formula 638
28*. Expressing Differential Operations on Vector Fields in a Curvilinear Orthogonal Coordinate System 641
29*. General Formula for Transforming Integrals 642
CHAPTER XVII. SERIES 645
§ 1. Number Series 645
1. Positive Series 645
2. Series with Terms of Arbitrary Signs 650
3. Operations on Series 652
4*. Speed of Convergence of a Series 654
5. Series with Complex, Vector and Matrix Terms 658
6. Multiple Series 659
§ 2. Functional Series 661
7. Deviation of Functions 661
8. Convergence of a Functional Series 662
9. Properties of Functional Series 664
§ 3. Power Series 666
10. Interval of Convergence 666
11. Properties of Power Series 667
12. Algebraic Operations on Power Series 671
13. Power Series as a Taylor Series 675
14. Power Series with Complex Terms 676
15*. Bernoullian Numbers 677
16*. Applying Series to Solving Difference Equations 678
17*. Multiple Power Series 680
18*. Functions of Matrices 681
19*. Asymptotic Expansions 685
§ 4. Trigonometric Series 686
20. Orthogonality 686
21. Series in Orthogonal Functions 689
22. Fourier Series 690
23. Expanding a Periodic Function 695
24*. Example. Bessel's Functions as Fourier Coefficients 697
25. Speed of Convergence of a Fourier Series 698
26. Fourier Series in Complex Form 702
27*. Parseval Relation 704
28*. Hilbert Space 706
29*. Orthogonality with Weight Function 708
30*. Multiple Fourier Series 710
31*. Application to the Equation of Oscillations of a String 711
§ 5. Fourier Transformation 713
32*. Fourier Transform 713
33*. Properties of Fourier Transforms 717
34*. Application to Oscillations of Infinite String 719
CHAPTER XVIII. ELEMENTS OF THE THEORY OF PROBABILITY 721
§ 1. Random Events and Their Probabilities 721
1. Random Events 721
2. Probability 722
3. Basic Properties of Probabilities 725
4. Theorem of Multiplication of Probabilities 727
5. Theorem of Total Probability 729
6*. Formulas for the Probability of HyPotheses 730
7. Disregarding Low-Probability Events 731
§ 2. Random Variables 732
8. Definitions 732
9. Examples of Discrete Random Variables 734
10. Examples of Continuous Random Variables 736
11. Joint Distribution of Several Random Variables 737
12. Functions of Random Variables 739
§ 3. Numerical Characteristics of Random Variables 741
13. The Mean Value 741
14. Properties of the Mean Value 742
15. Variance 744
16*. Correlation 746
17. Characteristic Functions 748
§ 4. Applications of the Normal Law 750
18. The Normal Law as the Limiting One 750
19. Confidence Interval 752
20. Data Processing 754
CHAPTER XIX. COMPUTERS 757
§ 1. Two Classes of Computers 757
1. Analogue Computers 758
2. Digital Computers 762
§ 2. Programming 764
3. Number Systems 764
4. Representing Numbers in a Computer 766
5. Instructions 769
6. Examples of Programming 772
Appendix. Equations of Mathematical Physics 780
1*. Derivation of Some Equations 780
2*. Some Other Equations 783
3*. Initial and Boundary Conditions 784
§ 2. Method of Separation of Variables 786
4*. Basic Example 786
5*. Some Other Problems 791
Bibliography 796
Name Index 798
Subject Index 8OO
List of Symbols 81


Unit Vectors

أ unit vector has length 1 unit and can take any direction.

A one-dimensional unit vector is usually written أنا.

Example 5 - Unit Vector

In the following diagram, we see the unit vector (in red, labeled أنا) and two other vectors that have been obtained from أنا using scalar multiplication (2أنا and 7أنا).

We have seen how to draw and write vectors. We now learn how to add vectors.


شاهد الفيديو: مقدمة في المتجهات رياضيات 6. ثالث ثانوي (ديسمبر 2021).