مقالات

2.2: المعاملات ذات الحدين - الرياضيات



معامل جاوس ذي الحدين

أين م و ص هي أعداد صحيحة غير سالبة. إذا ص & GT م ، يتم تقييم هذا إلى 0. بالنسبة ص = 0 ، القيمة هي 1 لأن كلا من البسط والمقام منتجان فارغان.

على الرغم من أن الصيغة تبدو للوهلة الأولى وكأنها دالة كسرية ، إلا أنها في الواقع كثيرة حدود ، لأن القسمة دقيقة فيها ض[ف]

جميع العوامل في البسط والمقام قابلة للقسمة على 1 - ف ، والحاصل هو ف عدد:

قسمة هذه العوامل يعطي الصيغة المكافئة

معامل جاوس ذي الحدين له قيم محدودة مثل m → ∞ < displaystyle m rightarrow infty>:

الانقلابات تحرير

يتضمن وصف اندماجي لمعاملات جاوس ذات الحدين الانقلابات.

المعامل ذي الحدين العادي (م ص) >> تحسب ال ص -التشكيلات المختارة من م مجموعة-عنصر. إذا أخذ المرء هؤلاء م العناصر لتكون مواضع الأحرف المختلفة في كلمة طويلة م ، ثم كل منهما ص -الجمع يتوافق مع كلمة طويلة م باستخدام أبجدية من حرفين ، قل <0،1> ، مع ص نسخ من الحرف 1 (مع الإشارة إلى المواقف في المجموعة المختارة) و مص الأحرف 0 (للمواقف المتبقية).

تتوافق هذه مع المعاملات في (4 2) q = 1 + q + 2 q 2 + q 3 + q 4 _= 1 + q + 2q ^ <2> + q ^ <3> + q ^ <4>>.

هناك طريقة أخرى لمعرفة ذلك وهي ربط كل كلمة بمسار عبر شبكة مستطيلة مع ارتفاع ص والعرض مص ، الانتقال من الزاوية اليسرى السفلية إلى الزاوية اليمنى العليا. يأخذ المسار خطوة صحيحة لكل منهما 0 وخطوة لكل منهما 1. يقوم الانعكاس بتبديل اتجاهات الخطوة (يمين + أعلى يصبح أعلى + يمين والعكس صحيح) ، وبالتالي فإن عدد الانعكاسات يساوي المساحة الموجودة أسفل المسار.

الكرات في صناديق تحرير

تحرير الانعكاس

مثل المعاملات العادية ذات الحدين ، فإن المعاملات ذات الحدين الغاوسية هي مركز متماثل ، أي ثابتة تحت الانعكاس r → m - r :

الاسم معامل جاوس ذي الحدين تنبع من حقيقة [ بحاجة لمصدر ] أن تقييمهم في ف = 1 هو

للجميع م و ص.

تحرير نظائر هوية باسكال

إن نظائر هوية باسكال لمعاملات جاوس ذات الحدين هي: [2]

تسمح هوية باسكال الأولى للفرد بحساب معاملات غاوس ذات الحدين بشكل متكرر (فيما يتعلق بـ م ) باستخدام القيم الأولية

ويظهر أيضًا بالمصادفة أن معاملات غاوس ذات الحدين هي في الواقع متعددة الحدود (في ف).

يمكن إثبات هويتَي باسكال من خلال ملاحظة التعريفات أولاً:

ومعادلة [1] و [2] مباشرة ، نحصل على:

ف-تحرير نظرية الحدين

هناك نظير لنظرية ذات الحدين ل فالمعاملات ذات الحدين:

مثل نظرية ذات الحدين المعتادة ، تحتوي هذه الصيغة على العديد من التعميمات والامتدادات ، أحدها ، المقابل لنظرية نيوتن ذات الحدين المعممة للقوى السالبة ، هو

تحرير الهوية المركزية ذات الحدين

مع المعاملات العادية ذات الحدين ، لدينا:

مع معاملات q ذات الحدين ، يكون التناظرية:

تحدث معاملات جاوس ذات الحدين في حساب كثيرات الحدود المتماثل وفي نظرية الأقسام. معامل ف ص في

هو عدد أقسام ص مع م أو أجزاء أقل كل منها أصغر من أو يساوي ن. بالتساوي ، إنه أيضًا عدد أقسام ص مع ن أو أجزاء أقل كل منها أصغر من أو يساوي م.

تلعب معاملات جاوس ذات الحدين أيضًا دورًا مهمًا في النظرية التعدادية للمساحات الإسقاطية المحددة في مجال محدد. على وجه الخصوص ، لكل مجال محدود Fف مع ف العناصر ، معامل جاوس ذي الحدين

يحسب عدد كفضاءات متجهية الأبعاد لـ a نالفضاء متجه الأبعاد أكثر Fف (a Grassmannian). عندما يتم توسيعها باعتبارها كثيرة الحدود في ف، فإنه ينتج عنه التحلل المعروف لجراسمانيان إلى خلايا شوبرت. على سبيل المثال ، معامل جاوس ذي الحدين

هو عدد المساحات الجزئية أحادية البعد في (Fف) ن (بالتساوي ، عدد النقاط في الفضاء الإسقاطي المصاحب). علاوة على ذلك ، متى ف هو 1 (على التوالي −1) ، ينتج معامل غاوس ذو الحدين خاصية أويلر للمركب المقابل (الحقيقي على التوالي) Grassmannian.

عدد ال كالمساحات الفرعية ذات البعد الأفيني Fف ن يساوي

هذا يسمح بتفسير آخر للهوية

حسب حساب (ص - 1) فضاءات فرعية الأبعاد من (م - 1) - الفضاء الإسقاطي الأبعاد عن طريق تثبيت مستوي مفرط ، عد هذه الفراغات الفرعية الموجودة في هذا المستوى الفائق ، ثم حساب المسافات الفرعية غير الموجودة في المستوى الفائق ، هذه الفراغات الفرعية الأخيرة في مراسلات حيوية مع (ص - 1) فضاءات فرعية ذات أبعاد متقاربة من الفضاء تم الحصول عليها عن طريق معاملة هذا المستوي الفائق الثابت على أنه المستوى الفائق عند اللانهاية.

في الاتفاقيات الشائعة في التطبيقات على المجموعات الكمية ، يتم استخدام تعريف مختلف قليلاً المعامل الكمي ذي الحدين الموجود

هذا الإصدار من المعامل الكمي ذو الحدين متماثل في إطار تبادل q و q - 1 >.


الرياضيات المتقطعة والتوافقية

III.B توليد الوظائف ومشاكل العد

تعمل الأمثلة الواردة في الجزء (أ) من هذا القسم على توضيح الفكرة القائلة بأن حل مشكلة معينة يمكن أن يساعد في كثير من الأحيان من خلال ربط المشكلة المعينة بمشكلات أخرى ، غالبًا ما تكون أبسط ، من نفس النوع. على سبيل المثال ، مشكلة الحجم ن قد تكون مرتبطة بمشكلة الحجم ن - 1 ومشكلة أخرى في الحجم ن - 3. طريقة أخرى لمتابعة مثل هذه العلاقات المتبادلة بين المشاكل ذات الأحجام المختلفة من خلال استخدام وظيفة توليد. في واقع الأمر ، تمت معاينة هذا المفهوم بالفعل في دراسة المعاملات ذات الحدين. على وجه التحديد ، مكافئ. (1) يوضح ذلك F(x) = (1 + x) ن يمكن اعتبارها دالة توليد للمعاملات ذات الحدين ج(ن, ك):

المتغير x يعمل ببساطة كرمز رسمي ويمثل الأسس عناصر نائبة لحمل معلومات المعامل. بشكل عام ، دالة التوليد هي كثيرة الحدود في المتغير x:

تذكر أن المعاملات ذات الحدين ج(ن, ك) حساب عدد مجموعات الحجم ك مشتق من مجموعة <1 ، 2 ، ... ،ن> من ن عناصر. في هذا السياق ، وظيفة التوليد F(x) = (1 + x) ن يمكن تطوير المعاملات ذات الحدين من خلال التفكير التالي. في كل خطوة ك = 1, 2, …,ن، يتم اتخاذ قرار بشأن تضمين العنصر أم لا ك في المجموعة الحالية. إذا x 0 للتعبير عن الاستبعاد و x 1 التضمين ، ثم العامل (x 0 + x 1 ) = (1 + x) في الخطوة ك يشفر هذين الخيارين بشكل مضغوط. منذ كل عنصر ك يقدم نفس الخيارات (استبعاد / تضمين) ، منتج ن العوامل (1 + x) ينتج العداد المطلوب (1 + x) ن . ينطبق هذا المنطق بشكل عام على الحالات التي تكون فيها الخيارات الفردية في كل خطوة غير متطابقة ، لذلك لا يلزم أن تكون جميع العوامل متماثلة (كما في حالة المعاملات ذات الحدين). تعطي الأمثلة التالية فكرة عن أنواع المشاكل التي يمكن معالجتها من خلال استخدام وظائف التوليد.

ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يُمنح بها التغيير مقابل الدولار باستخدام النيكل والدايمات والأرباع فقط؟

يمكن تمثيل اختيارات عدد النيكل المراد استخدامه بواسطة كثير الحدود:

أ تقسيم من العدد الصحيح الموجب ن هي مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة (أو "الأجزاء") التي مجموعها معًا ن. على سبيل المثال ، يحتوي الرقم 4 على خمسة أقسام: <1 ، 1 ، 1 ، 1> ، <1 ، 1 ، 2> ، <1 ، 3> ، <2 ، 2> ، <4>.

كم عدد الأقسام الموجودة للعدد الصحيح ن?

يتم تمثيل اختيارات عدد الوحدات المراد تضمينها كأجزاء بواسطة كثير الحدود:

أوجد عدد أقسام العدد الصحيح ن داخل خامد القطع.

نظرًا لأن الأجزاء يجب أن تكون مميزة ، فإن الاختيارات لأي عدد صحيح أنا هل سيتم تضمينه (x أنا ) أم لا (x 0) في القسم المحدد. نتيجة لذلك ، فإن وظيفة التوليد لهذه المشكلة هي


التعريف والتفسيرات

للأعداد الطبيعية (تشمل 0) ن و ك، يمكن تعريف المعامل ذي الحدين [math] displaystyle < tbinom nk> [/ math] على أنه معامل monomial X ك في التوسع (1 + X) ن . يحدث نفس المعامل أيضًا (إذا كن ) في صيغة ذات الحدين

(صالح لأي عناصر x,ذ من حلقة تبادلية) ، وهو ما يفسر اسم "معامل ذي الحدين".

حدوث آخر لهذا الرقم هو في التوافقية ، حيث يعطي عدد الطرق ، بغض النظر عن الترتيب ، ذلك ك يمكن اختيار الأشياء من بين ن بشكل أكثر رسمية ، فإن عدد ك-المجموعات الفرعية للعنصر (أو ك-مجموعات) من أ نمجموعة-عنصر. يمكن اعتبار هذا الرقم مساويًا للتعريف الأول ، بصرف النظر عن أي من الصيغ أدناه لحسابه: إذا كان في كل من ن عوامل القوة (1 + X) ن واحد يسمي المصطلح مؤقتًا X مع فهرس أنا (تشغيل من 1 إلى ن) ، ثم كل مجموعة فرعية من ك تعطي المؤشرات بعد التوسع مساهمة X ك ، وسيكون معامل ذلك المونومال في النتيجة هو عدد هذه المجموعات الفرعية. يوضح هذا بشكل خاص أن [math] displaystyle < tbinom nk> [/ math] هو رقم طبيعي لأي أرقام طبيعية ن و ك. هناك العديد من التفسيرات التجميعية الأخرى للمعاملات ذات الحدين (حساب المشاكل التي تعطى الإجابة لها بتعبير معامل ذي الحدين) ، على سبيل المثال عدد الكلمات المكونة من ن بت (أرقام 0 أو 1) مجموعها ك يُعطى بواسطة [math] displaystyle < tbinom nk> [/ math] ، بينما عدد طرق كتابة [math] displaystyle [/ math] حيث كل أأنا هو عدد صحيح غير سالب معطى بواسطة [math] displaystyle < tbinom > [/ رياضيات]. من السهل رؤية معظم هذه التفسيرات على أنها معادلة للعد ك-التركيبات.


2.2: المعاملات ذات الحدين - الرياضيات

ثلاثة أعداد صحيحة ن, م و ك، المهمة هي حساب مجموع نواتج المعاملات ذات الحدين C (N ، i) و C (M ، K & # 8211 i) ، حيث أنا يتراوح ما بين [0 ، ك].

إدخال: N = 2 ، M = 2 ، K = 2
انتاج: 6
تفسير:
ج (2 ، 0) * ج (2 ، 2) + ج (2 ، 1) * ج (2 ، 1) + ج (2 ، 2) * ج (2 ، 0) = 1 * 1 + 2 * 2 + 1 * 1 = 6
إدخال: ن = 2 ، م = 3 ، ك = 1
انتاج: 5
تفسير:
ج (2 ، 0) * ج (3 ، 1) + ج (2 ، 1) * ج (3 ، 0) = 1 * 3 + 2 * 1 = 5

نهج ساذج:إن أبسط طريقة لحل هذه المشكلة هي ببساطة التكرار عبر النطاق [0 ، ك] واحسب ج (ن ، ط) و ج (M، K & # 8211 1) لكل أنا والتحديث مجموع من خلال إضافة منتجاتهم.
فيما يلي تنفيذ النهج أعلاه:


المعاملات ذات الحدين

يرجع السبب في التدوين الأول إلى L. Euler إلى الرمز $ C _ ^ $ ظهر في القرن التاسع عشر ، وربما كان مرتبطًا بتفسير المعاملات ذات الحدين $ C _ ^ $ كعدد التوليفات غير المرتبة التي يمكن تمييزها (cf. Combination) من $ N $ كائنات مختلفة مع $ n $ كائنات في كل مجموعة. تتم كتابة المعاملات ذات الحدين بشكل ملائم كأرقام في المثلث الحسابي ، أو مثلث باسكال ، الذي يعتمد بناؤه على الخاصية التالية للمعاملات ذات الحدين:

$ tag <2> left ( begin N n end يمين) + يسار ( ابدأ N n + 1 end يمين) = يسار ( يبدأ N + 1 n + 1 end حق ) . $

كانت المعاملات ذات الحدين ، وكذلك المثلث الحسابي ، مفاهيم معروفة لعلماء الرياضيات في العصور القديمة ، في أشكال أكثر أو أقل تطورًا. أجرى ب. باسكال (L665) دراسة تفصيلية للمعاملات ذات الحدين. ترتبط المعاملات ذات الحدين أيضًا بالعديد من العلاقات المفيدة بخلاف (2) ، على سبيل المثال:

$ tag <3a> left ( begin N n end يمين) = يسار ( ابدأ N N-n end حق) $

$ tag <3b> left ( begin N n end right) = sum _ ^ يسار ( start م ك نهاية يمين) يسار ( ابدأ N-m n-k end الحق) ، n leq m leq N - n $

$ علامة <3c> sum _ ^ (- 1) ^ ك ^ اليسار ( البدء N k end حق) = 0 ، م = 0 نقاط ن - 1 دولار

$ علامة <3d> sum _ ^ left ( begin n k end right) ^ <2> = left ( begin 2n n end حق) $

$ علامة <3e> sum _ ^ left ( begin N k end يمين) ك (ك - 1) النقاط (ك - ص + 1) = $

$ = N (N - 1) dots (N - r + 1) cdot 2 ^ $

$ علامة <3f> sum _ ^ (- 1) ^ اليسار ( البدء N k end يمين) ك (ك -1) النقاط (ك - ص + 1) = 0. $

على وجه الخصوص ، ينتج عن (3a) - (3f)

$ علامة <4> اليسار. يبدأ مجموع _ ^ left ( begin N k end يمين) = 2 ^ مجموع _ ^ (- 1) ^ اليسار ( البدء N k end يمين) = 0. النهاية حق > دولار

ينتج عن استخدام صيغة "ستيرلنغ" تعبيرات تقريبية للمعاملات ذات الحدين. وبالتالي ، إذا كان $ N $ أكبر بكثير من $ n $:

في حالة العدد المركب $ alpha $ ، يتم تعميم المعاملات ذات الحدين وفقًا للصيغة

في هذا التعميم ، يتم الحفاظ على بعض العلاقات (2) - (4) ، ولكن عادة في شكل معدل. على سبيل المثال،

$ left ( begin alpha n end يمين) + يسار ( يبدأ alpha n + 1 end يمين) = يسار ( يبدأ < alpha + 1> نهاية حق) $

$ sum _ ^ <<+> infty> left ( begin alpha k end right) = 2 ^ alpha، mathop < rm Re> alpha & gt -1 $

$ sum _ ^ <<+> infty> (-1) ^ يسار ( يبدأ alpha k end right) = 0، mathop < rm Re> alpha & gt 0. $


الرياضيات المتقطعة: مقدمة مفتوحة ، الطبعة الثالثة

في الشطرنج ، يمكن أن يتحرك الرخ فقط في خطوط مستقيمة (وليس بشكل مائل). املأ كل مربع من رقعة الشطرنج أدناه بعدد أقصر المسارات المختلفة التي يمكن أن يسلكها الرخ ، في الزاوية اليسرى العليا ، للوصول إلى هذا المربع. على سبيل المثال ، تم ملء مربع واحد بالفعل. هناك ستة مسارات مختلفة من الغراب إلى المربع: DDRR (أسفل اليمين لأسفل) ، DRDR ، DRRD ، RDDR ، RDRD و RRDD.

فيما يلي بعض الكائنات المنفصلة على ما يبدو التي يمكننا عدها: المجموعات الفرعية ، وسلاسل البت ، والمسارات الشبكية ، والمعاملات ذات الحدين. سنقدم مثالاً لكل نوع من مسائل العد (ونقول ما هي هذه الأشياء). كما سنرى ، فإن مشاكل العد هذه متشابهة بشكل مدهش.

الأقسام الفرعية

يجب أن تكون المجموعات الفرعية مألوفة ، وإلا اقرأ القسم 0.3 مرة أخرى. لنفترض أننا نظرنا إلى المجموعة (A = <1،2،3،4،5 > text <.> ) كم عدد مجموعات فرعية من (A ) تحتوي على 3 عناصر بالضبط؟

أولاً ، سؤال أبسط: كم عدد مجموعات فرعية من (أ ) هناك إجمالي؟ بعبارة أخرى ، ما هو (| pow (A) | ) (عدد العناصر الأساسية لمجموعة الطاقة (A ))؟ فكر في كيفية بناء مجموعة فرعية. نحتاج إلى أن نقرر ، لكل عنصر من عناصر (A text <،> ) ما إذا كنا سنشمل العنصر في مجموعتنا الفرعية أم لا. لذلك علينا أن نقرر "نعم" أو "لا" للعنصر 1. ولكل خيار نتخذه ، نحتاج إلى تحديد "نعم" أو "لا" للعنصر 2. وهكذا. لكل عنصر من العناصر الخمسة ، لدينا خياران. لذلك فإن عدد المجموعات الفرعية هو ببساطة (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 2 ^ 5 ) (بواسطة مبدأ المضاعفة).

من بين هذه المجموعات الفرعية البالغ عددها 32 ، كم عددًا يحتوي على 3 عناصر؟ هذا ليس واضحا. لاحظ أنه لا يمكننا استخدام مبدأ الضرب فقط. ربما نريد أن نقول أن لدينا خيارين (نعم / لا) للعنصر الأول ، وخياران للعنصر الثاني ، وخياران للعنصر الثالث ، ثم خيار واحد فقط للعنصر الثاني. ولكن ماذا لو قلنا "لا" لأحد العناصر الثلاثة الأولى؟ ثم سيكون لدينا خياران للعنصر الرابع. ما هذه الفوضى!

فكرة أخرى (سيئة): نحتاج إلى اختيار ثلاثة عناصر لتكون في مجموعتنا الفرعية. هناك 5 عناصر للاختيار من بينها. إذن ، هناك 5 اختيارات للعنصر الأول ، ولكل من هذه الاختيارات الأربعة للعنصر الثاني ، ثم 3 للعنصر الثالث (الأخير). سيقول مبدأ الضرب بعد ذلك أن هناك إجمالي (5 cdot 4 cdot 3 = 60 ) طرق لتحديد المجموعة الفرعية المكونة من 3 عناصر. لكن هذا لا يمكن أن يكون صحيحًا ( (60 & gt 32 ) لشيء واحد). إحدى النتائج التي نحصل عليها من هذه الاختيارات ستكون المجموعة ( <3،2،5 > text <،> ) باختيار العنصر 3 أولاً ، ثم العنصر 2 ، ثم العنصر 5. آخر ستكون النتيجة ( <5،2،3 > ) باختيار العنصر 5 أولاً ، ثم العنصر 2 ، ثم العنصر 3. ولكن هذه هي نفس المجموعة! يمكننا تصحيح ذلك عن طريق القسمة: لكل مجموعة مكونة من ثلاثة عناصر ، هناك 6 نتائج محسوبة من بين 60 لدينا (نظرًا لوجود 3 اختيارات لأي عنصر ندرجه أولاً ، و 2 ندرجه في المرتبة الثانية ، و 1 الذي أدرجناه في القائمة الأخيرة) . لذلك نتوقع أن يكون هناك 10 مجموعات فرعية من 3 عناصر من (A text <.> )

هل هذا صحيح؟ حسنًا ، يمكننا سرد كل 10 منهم ، كوننا منظمين للغاية في القيام بذلك ، للتأكد من عدم تفويت أي منها أو سرد أي منها مرتين. أو يمكننا محاولة حساب عدد مجموعات فرعية من (أ ) لا تفعل 3 عناصر فيها. كم عدد لا يحتوي على عناصر؟ فقط 1 (المجموعة الفارغة). كم عدد 5؟ مرة أخرى ، فقط 1. هذه هي الحالات التي نقول فيها "لا" لجميع العناصر ، أو "نعم" لجميع العناصر. حسنًا ، ماذا عن المجموعات الفرعية التي تحتوي على عنصر واحد؟ هناك 5 من هؤلاء. يجب أن نقول "نعم" لعنصر واحد بالضبط ، وهناك 5 عناصر للاختيار من بينها. هذا هو أيضًا عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على 4 عناصر. هؤلاء هم الذين يجب أن نقول "لا" لعنصر واحد بالضبط.

لقد أحصينا حتى الآن 12 من 32 مجموعة فرعية. لم نقم بعد بإحصاء المجموعات الفرعية ذات العلاقة الأساسية 2 والعدد 3. هناك إجمالي 20 مجموعة فرعية متبقية لتقسيمها بين هاتين المجموعتين. لكن يجب أن يكون عدد كل واحد هو نفسه! إذا قلنا "نعم" لعنصرين بالضبط ، فيمكن تحقيق ذلك بنفس عدد الطرق تمامًا مثل عدد الطرق التي يمكننا بها قول "لا" لعنصرين بالضبط. لذا فإن عدد المجموعات الفرعية المكونة من عنصرين يساوي عدد المجموعات الفرعية المكونة من 3 عناصر. يوجد معًا 20 من هذه المجموعات الفرعية ، لذلك 10 لكل منها.

سلاسل بت القسم

"بت" هي اختصار لـ "رقم ثنائي" ، لذا فإن سلسلة من الأرقام الثنائية. هما ببساطة الرقمان 0 و 1. كل ما يلي عبارة عن سلاسل بت:

عدد البتات (0 أو 1) في السلسلة هو السلسلة التي تحتوي السلاسل أعلاه على أطوال 4 و 1 و 4 و 10 على التوالي. يمكننا أيضًا أن نسأل كم عدد البتات التي تكون 1. عدد 1 في سلسلة بت هو السلسلة التي تكون أوزان السلاسل أعلاه 2 و 0 و 4 و 5 على التوالي.

سلاسل بت.

سلسلة بت من الطول (n text <.> ) أي أنها سلسلة تحتوي على (n ) رموز ، كل منها بت ، إما 0 أو 1.

سلسلة البت هي رقم الآحاد بداخلها.

على سبيل المثال ، عناصر المجموعة ( B ^ 3_2 ) هي سلاسل البت 011 و 101 و 110. هذه هي السلاسل الوحيدة التي تحتوي على ثلاثة بتات ، اثنان منها بالضبط هما 1.

أسئلة العد: كم عدد سلاسل البت التي يبلغ طولها 5؟ كم من هؤلاء لديهم وزن 3؟ بمعنى آخر ، نحن نسأل عن الأصول (| B ^ 5 | ) و (| B ^ 5_3 | text <.> )

للعثور على عدد السلاسل المكونة من 5 بت ، يتم تقديمه بشكل مستقيم. لدينا 5 بتات ، ويمكن أن يكون كل منها إما 0 أو 1. لذا يوجد خياران للبت الأول ، وخياران للبت الثاني ، وهكذا. وفقًا لمبدأ الضرب ، توجد (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 2 ^ 5 = 32 ) مثل هذه السلاسل.

من الصعب إيجاد عدد السلاسل المكونة من 5 بت للوزن 3. فكر في الكيفية التي يمكن أن تبدأ بها مثل هذه السلسلة. يجب أن تكون البتة الأولى إما 0 أو 1. في الحالة الأولى (تبدأ السلسلة بالرقم 0) ، يجب أن نقرر بعد ذلك أربع بتات أخرى. للحصول على إجمالي ثلاث وحدات آحاد ، يجب أن يكون هناك ثلاث وحدات آحاد من بين تلك البتات الأربعة المتبقية. لإحصاء كل هذه السلاسل ، يجب علينا تضمين كل السلاسل المكونة من 4 بتات من الوزن 3. في الحالة الثانية (تبدأ السلسلة بالرقم 1) ، لا يزال لدينا أربع بتات للاختيار من بينها ، ولكن الآن اثنان منها فقط يمكن أن يكونا 1 ، لذلك يجب أن ننظر إلى جميع سلاسل الوزن المكونة من 4 بتات 2. لذا فإن السلاسل الموجودة في ( B ^ 5_3 ) لها شكل (1 B ^ 4_2 ) (أي 1 متبوعًا بسلسلة من ( B ^ 4_2 )) أو (0 B ^ 4_3 text <.> ) هاتان المجموعتان منفصلتان ، لذا يمكننا استخدام مبدأ الجمع:

هذا مثال على أ . لقد قمنا بتمثيل مثال واحد من مسألة العد في حالتين أبسط من المسألة. إذا عرفنا فقط العناصر الأساسية لكل من ( B ^ 4_2 ) و ( B ^ 4_3 text <.> ) تكرار نفس المنطق ،

يمكننا الاستمرار في الانخفاض ، لكن هذا يجب أن يكون جيدًا بما فيه الكفاية. يحتوي كل من ( B ^ 3_1 ) و ( B ^ 3_2 ) على سلاسل من 3 بتات: يجب أن نختار واحدة من البتات الثلاثة لتكون 1 (ثلاث طرق للقيام بذلك) أو واحدة من البتات الثلاثة لتكون أ 0 (ثلاث طرق للقيام بذلك). أيضًا ، يحتوي ( B ^ 3_3 ) على سلسلة واحدة فقط: 111. وهكذا (| B ^ 4_2 | = 6 ) و (| B ^ 4_3 | = 4 text <،> ) مما يضع ( B ^ 5_3 ) بإجمالي 10 سلاسل.

لكن انتظر - كانت 32 و 10 هي الإجابات على أسئلة العد حول المجموعات الفرعية. صدفة؟ لا على الإطلاق. يمكن اعتبار كل سلسلة بت كملف الشفرة لمجموعة فرعية. لتمثيل مجموعات فرعية من (A = <1،2،3،4،5 > نص <،> ) يمكننا استخدام سلاسل 5 بت ، بت واحد لكل عنصر من (A text <. > ) كل بت في السلسلة تكون 0 إذا لم يكن العنصر المقابل لها من (A ) في المجموعة الفرعية ، و 1 إذا كان عنصر (A ) في المجموعة الفرعية. تذكر أن تحديد المجموعة الفرعية بلغ سلسلة من خمسة أصوات نعم / لا لعناصر (A text <.> ) بدلاً من نعم ، نضع 1 بدلاً من لا ، نضع 0.

على سبيل المثال ، تمثل سلسلة البت (11001 ) المجموعة الفرعية ( <1،2،5 > ) نظرًا لأن البتات الأولى والثانية والخامسة هي 1. سيتم ترميز المجموعة الفرعية ( <3،5 > ) بواسطة السلسلة (00101 text <.> ) ما لدينا هنا حقًا هو انحراف من ( pow (A) ) إلى ( B ^ 5 نص <.> )

الآن لكي تحتوي مجموعة فرعية على ثلاثة عناصر بالضبط ، يجب أن تحتوي سلسلة البت المقابلة على ثلاثة عناصر من 1 بالضبط. بمعنى آخر ، يجب أن يكون الوزن 3. وبالتالي فإن حساب عدد المجموعات الفرعية المكونة من 3 عناصر من (A ) هو نفسه حساب عدد سلاسل الوزن المكونة من 5 بتات 3.

مسارات شعرية القسم الفرعي

هي مجموعة جميع النقاط في المستوى الديكارتي والتي يكون كل من إحداثياتها (x ) و (y ) أعدادًا صحيحة. إذا كنت ترغب في رسم الرسوم البيانية على ورق الرسم البياني ، فإن الشبكة هي مجموعة جميع تقاطعات خطوط الشبكة.

A هو أحد أقصر المسارات الممكنة التي تربط بين نقطتين على الشبكة ، وتتحرك فقط أفقيًا وعموديًا. على سبيل المثال ، إليك ثلاثة مسارات شعرية محتملة من النقطة ((0،0) ) إلى ((3،2) text <:> )

لاحظ للتأكد من أن المسار هو ملف أقصر ممكن ، يجب أن تكون كل حركة إما إلى اليمين أو لأعلى. بالإضافة إلى ذلك ، في هذه الحالة ، لاحظ أنه بغض النظر عن المسار الذي نسلكه ، يجب علينا اتخاذ ثلاث خطوات صحيحة وخطوتين للأعلى. بغض النظر عن ترتيب هذه الخطوات ، ستكون هناك دائمًا 5 خطوات. وهكذا كل مسار له الطول 5.

سؤال العد: كم عدد المسارات الشبكية الموجودة بين ((0،0) ) و ((3،2) text <؟> ) يمكننا محاولة رسم كل هذه المسارات ، أو بدلاً من رسمها ، ربما حدد فقط الاتجاه الذي نسير فيه في كل خطوة من الخطوات الخمس. قد يكون أحد المسارات هو RRUUR ، أو ربما UURRR ، أو ربما RURRU (تلك التي تتوافق مع المسارات الثلاثة المرسومة أعلاه). إذن كم عدد سلاسل R's و U الموجودة؟

لاحظ أن كل من هذه السلاسل يجب أن يحتوي على 5 رموز. يجب أن تكون 3 منهم بالضبط R (نظرًا لأن وجهتنا هي 3 وحدات على اليمين). يبدو هذا مألوفًا للغاية. في الواقع ، ماذا لو استخدمنا (1 ) بدلاً من R و 0 بدلاً من U؟ عندها سيكون لدينا فقط سلاسل من 5 بتات من الوزن 3. هناك 10 من هؤلاء ، لذلك هناك 10 مسارات شعرية من (0،0) إلى (3،2).

لا تتوقف المراسلات بين سلاسل البت والمسارات الشبكية عند هذا الحد. إليك طريقة أخرى لحساب المسارات الشبكية. ضع في اعتبارك الشبكة الموضحة أدناه:

يجب أن يمر أي مسار شبكي من (0،0) إلى (3،2) عبر واحد من (A ) و (B text <.> ) النقطة (A ) على بعد 4 خطوات من ( 0،0) واثنان منهم باتجاه اليمين. عدد المسارات الشبكية إلى (A ) هو نفسه عدد سلاسل 4 بت للوزن 2 ، أي 6. النقطة (B ) على بعد 4 خطوات من (0،0) ، ولكن الآن 3 منهم نحو اليمين. لذا فإن عدد المسارات للنقطة (B ) هو نفسه عدد السلاسل المكونة من 4 بت ذات الوزن 3 ، أي 4. لذا فإن العدد الإجمالي للمسارات إلى (3،2) هو (6 + 4 ) فقط text <.> ) هذه هي الطريقة نفسها التي حسبنا بها عدد السلاسل المكونة من 5 بتات للوزن 3. النقطة: توجد علاقة التكرار نفسها لسلاسل البت وللمسارات الشبكية.

معاملات ذات الحدين الفرعية

هي المعاملات في النسخة الموسعة من ذات الحدين ، مثل ((x + y) ^ 5 text <.> ) ماذا يحدث عندما نضاعف مثل هذه ذات الحدين؟ سنقوم بتوسيع ((x + y) ^ n ) لقيم مختلفة من (n text <.> ) يتم تنفيذ كل منها بضرب كل شيء (على سبيل المثال ، FOIL-ing) ثم تجميع المصطلحات المتشابهة.

في الواقع ، هناك طريقة أسرع لتوسيع المعادلات ذات الحدين أعلاه. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التالي ، ((x + y) ^ 5 text <.> ) ما نقوم به حقًا هو الضرب ،

إذا بدا ذلك صعبًا ، فارجع إلى حالة ((x + y) ^ 3 = (x + y) (x + y) (x + y) text <.> ) لماذا لدينا واحد فقط (x ^ 3 ) و (y ^ 3 ) لكن ثلاثة (x ^ 2y ) و (xy ^ 2 )؟ في كل مرة نوزع فيها على ((x + y) ) نقوم بإنشاء نسختين مما تبقى ، واحدة مضروبة في (x text <،> ) الأخرى مضروبة في (y text <.> ) للحصول على (x ^ 3 text <،> ) نحتاج إلى اختيار الضلع "مضروب في (x )" في كل مرة (ليس لدينا أي (y ) 's في المصطلح) . هذا سيحدث مرة واحدة فقط. من ناحية أخرى ، للحصول على (x ^ 2y ) ، نحتاج إلى تحديد الجانب (x ) مرتين والجانب (y ) مرة واحدة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى اختيار أحد المصطلحات الثلاثة ((x + y) ) لـ "المساهمة" الخاصة بهم (y text <.> )

وبالمثل ، في توسيع ((x + y) ^ 5 text <،> ) سيكون هناك مصطلح (x ^ 5 ) واحد ومصطلح (y ^ 5 ) واحد فقط. هذا لأنه للحصول على (x ^ 5 text <،> ) نحتاج إلى استخدام المصطلح (x ) في كل نسخة من ذات الحدين ((x + y) text <،> ) وبالمثل لـ (y ^ 5 text <.> ) ماذا عن (x ^ 4y text <؟> ) للحصول على مصطلحات مثل هذه ، نحتاج إلى استخدام أربعة (س ) وواحد (y text <،> ) لذلك نحن بحاجة بالضبط إلى واحد من الخمس ذي الحدين للمساهمة بـ (y text <.> ) هناك 5 خيارات لهذا ، لذلك هناك 5 طرق للحصول على (x ^ 4y text <،> ) لذا فإن معامل (x ^ 4y ) هو 5. هذا أيضًا معامل (xy ^ 4 ) لنفس السبب (لكن العكس): هناك 5 طرق للاختيار أي من القيم ذات الحدين الخمسة تساهم في (x text <.> ) حتى الآن لدينا

ما زلنا بحاجة إلى معاملات (x ^ 3y ^ 2 ) و (x ^ 2y ^ 3 text <.> ) في كلتا الحالتين ، نحتاج إلى اختيار 3 بالضبط من 5 ذات الحدين للمساهمة في متغير واحد ، اثنين آخرين للمساهمة في الآخر. انتظر. هذا يبدو مألوفا. لدينا 5 أشياء ، كل منها يمكن أن يكون واحدًا من شيئين ، ونحتاج إلى إجمالي 3 منها. هذا تمامًا مثل أخذ 5 بتات والتأكد من أن 3 منها بالضبط هي 1. لذا فإن معامل (x ^ 3y ^ 2 ) (وأيضًا (x ^ 2y ^ 3 )) سيكون مطابقًا تمامًا لعدد سلاسل البت ذات الطول 5 والوزن 3 ، والتي وجدناها سابقًا 10. لذلك لدينا:

هذه الأرقام التي نراها مرارًا وتكرارًا. وهي عدد المجموعات الفرعية ذات الحجم المحدد ، وعدد سلاسل البت لوزن معين ، وعدد المسارات الشبكية ، ومعاملات هذه المنتجات ذات الحدين. سوف ندعوهم. لدينا حتى رمز خاص لهم: ( نص <.> )

المعاملات ذات الحدين.

لكل عدد صحيح (n ge 0 ) وعدد صحيح (k ) مع (0 le k le n ) يوجد رقم

اقرأ " (n ) اختر (k text <.> )" لدينا:

  • ( = | B ^ n_k | text <،> ) عدد (n ) - سلاسل البت للوزن (k text <.> )
  • () هو عدد المجموعات الفرعية لمجموعة الحجم (n ) لكل منها عدد من العناصر (k text <.> )
  • () هو عدد مسارات الشبكة ذات الطول (n ) التي تحتوي على (ك ) خطوات جهة اليمين.
  • () هو معامل (x ^ ky ^) في توسيع ((x + y) ^ n text <.> )
  • () هو عدد طرق تحديد (k ) كائنات من إجمالي (n ) كائنات.

عادة ما تؤخذ النقطة الأخيرة على أنها تعريف ( text <.> ) خارج (n ) كائنات يجب أن نختار (ك ) منها ، لذلك هناك (n ) اختر (ك ) طرق للقيام بذلك. يمكن عرض كل مشكلة من مشاكل العد المذكورة أعلاه بهذه الطريقة:

كم عدد مجموعات فرعية من ( <1،2،3،4،5 > ) تحتوي بالضبط على 3 عناصر؟ يجب أن نختار (3 ) من العناصر الخمسة لتكون في مجموعتنا الفرعية. توجد (<5 Choose 3> ) طرق للقيام بذلك ، لذلك توجد (<5 Choose 3> ) مثل هذه المجموعات الفرعية.

كم عدد سلاسل البت التي يبلغ طولها 5 ووزنها 3؟ يجب أن نختار (3 ) من 5 بتات لتكون 1. توجد (<5 Choose 3> ) طرق للقيام بذلك ، لذلك توجد (<5 Choose 3> ) مثل هذه السلاسل.

كم عدد المسارات الشبكية الموجودة من (0،0) إلى (3،2)؟ يجب أن نختار 3 من 5 خطوات لنكون باتجاه اليمين. توجد (<5 Choose 3> ) طرق للقيام بذلك ، لذلك توجد (<5 Choose 3> ) مثل هذه المسارات الشبكية.

ما هو معامل (x ^ 3y ^ 2 ) في توسيع ((x + y) ^ 5 text <؟> ) يجب أن نختار 3 من 5 نسخ من ذات الحدين للمساهمة في ( x text <.> ) هناك (<5 Choose 3> ) طرق للقيام بذلك ، لذا فإن المعامل هو (<5 Choose 3> text <.> )

يجب أن يكون واضحًا أنه في كل حالة أعلاه ، لدينا الإجابة الصحيحة. كل ما كان علينا فعله هو صياغة السؤال بشكل صحيح وأصبح من الواضح أن (<5 Choose 3> ) صحيح. ومع ذلك ، هذا لا يخبرنا أن الإجابة هي في الواقع 10 في كل حالة. سنجد في النهاية صيغة لـ ( text <،> ) ولكن في الوقت الحالي ، انظر إلى الوراء في كيفية وصولنا إلى الإجابة 10 في مسائل العد أعلاه. كل ذلك يعود إلى سلاسل بت ، ولدينا علاقة تكرار لسلاسل البت:

تذكر ، هذا لأنه يمكننا بدء سلسلة البت إما بـ 1 أو 0. في كلتا الحالتين ، لدينا (n-1 ) المزيد من البتات للاختيار. يجب أن تحتوي السلاسل التي تبدأ بـ 1 على (k-1 ) أكثر من 1 ، بينما لا تزال السلاسل التي تبدأ بـ 0 بحاجة إلى (k ) أكثر من 1.

منذ (| B ^ n_k | = text <،> ) تحمل نفس علاقة التكرار للمعاملات ذات الحدين:

علاقة التكرار لـ ().

مثلث باسكال الفرعي

لنرتب معاملات ذات الحدين () في شكل مثلث كما يلي:

هذا يمكن أن يستمر بقدر ما نود. علاقة التكرار لـ () يخبرنا أن كل إدخال في المثلث هو مجموع الإدخالين أعلاه. دائمًا ما تكون المدخلات على جانبي المثلث 1. هذا بسبب ( = 1 ) للجميع (n ) حيث توجد طريقة واحدة فقط لاختيار 0 من (n ) كائنات و ( = 1 ) نظرًا لوجود طريقة واحدة لتحديد كافة (n ) الكائنات من (n ) الكائنات. باستخدام علاقة التكرار ، وحقيقة أن جوانب المثلث هي 1 ، يمكننا بسهولة استبدال جميع الإدخالات أعلاه بالقيم الصحيحة لـ ( text <.> ) القيام بذلك يعطينا.

يمكننا استخدام مثلث باسكال لحساب المعاملات ذات الحدين. على سبيل المثال ، باستخدام المثلث أدناه ، يمكننا إيجاد (<12 Choose 6> = 924 text <.> )

تمارين تمارين

تشتهر Gridtown USA ، إلى جانب وجود متاجر دونات ممتازة ، بشبكتها المحددة بدقة من الشوارع والطرق. تمتد الشوارع من الشرق إلى الغرب ، والطرق بين الشمال والجنوب ، على امتداد كامل المدينة ، ولا تنحني أبدًا ولا تقطعها الحدائق أو المدارس أو ما شابه ذلك.

لنفترض أنك تعيش في الزاوية الثالثة والثالثة وتعمل في الزاوية 12 و 12. وبالتالي ، يجب عليك السفر 18 كتلة للوصول إلى العمل في أسرع وقت ممكن.

كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك أن تسلكها للعمل ، على افتراض أنك تريد الوصول إلى هناك في أسرع وقت ممكن؟ يشرح.

لنفترض الآن أنك تريد التوقف والحصول على دونات في طريقك إلى العمل ، من متجر الدونات المفضل لديك في زاوية الشارع العاشر والثامن. كم عدد طرق العمل ، والتوقف في متجر الكعك ، هل يمكنك أن تسلك (مرة أخرى ، ضمان أقصر طريق ممكن)؟ يشرح.

كارثة سترايك Gridtown: هناك حفرة في الرابعة بين الخامس والسادس. كم عدد طرق العمل التي يمكنك اتباعها لتجنب هذا الامتداد القبيح (والخطير) للطريق؟ يشرح.

تم إصلاح الحفرة (phew) وافتتح متجر دونات جديد في زاوية 4 و 5 st. كم عدد طرق العمل التي يقودها أحد متاجر الكعك أو كلاهما (أو كليهما)؟ تلميح: محلات الكعك تخدم الفطائر.


لنفترض أن n عددًا صحيحًا موجبًا و k عددًا صحيحًا موجبًا أقل من أو يساوي n ، فإن المعامل ذي الحدين هو عدد المجموعات الفرعية لعناصر k المختارة من العناصر n (يُختصر إلى "n اختر k"). يتم إعطاء المعامل ذي الحدين ،

تُستخدم المعاملات ذات الحدين لحساب معاملات كثير الحدود المرفوعة إلى قوة n.

مثال: احسب معامل (x ^ 4y ^ 2 ) في توسيع ((x + y) ^ 6 )

سنقوم بحساب جميع المعاملات بدلاً من توسيع ((x + y) ^ 6 ) والتي يمكن أن تكون مملة!

لاحظ أن بعض المعاملات متساوية: (x ^ 2y ^ 4 ) و (x ^ 4y ^ 2 ) و (xy ^ 5 ) و (x ^ 5y ). يمكن استنتاج هذا التناظر بسهولة من صيغة المعامل ذي الحدين. هذا يبسط العمليات الحسابية. تم تطبيقه على ((x + y) ^ 8 ) متعدد الحدود نحصل عليه ،
(نص (س ^ 8) = نص (ص ^ 8) = 1 )

بالنسبة للمعاملات الأخرى ، نحسب فقط معاملات (xy ^ 7 ) و (x ^ 2y ^ 6 ) و (x ^ 3y ^ 5 ) و (x ^ 4y ^ 4 ). يتم استنتاج المعاملات الأخرى بشكل متماثل.


The Binomial Formula and Binomial Coefficients

If $n=1,2,3,ldots$ then
$(x+y)^n=x^n+nx^y+frac<2!>x^y^2$ frac<3!>x^y^3+ldots+y^n$
هذا يسمى binomial formula. It can be extended to other values of $n$ and then is an infinite series.

Binomial Coefficients

The result can also be written
$(x+y)^n=x^n+inom<1>x^y+inom<2>x^y^2+$ $inom<3>x^y^3+ldots+inomy^n$
where the coefficients, called binomial coefficients, are given by
$inom=frac=$ $frac=inom$

Properties of Binomial Coefficients

$inom+inom=inom$
This leads to Pascal's triangle

Multinomial Formula

$(x_1+x_2+. +x_p)^n=$ $sumfracx_1^x_2^. x_p^$
where the sum, denoted by $sum$, is taken over all nonnegative integers $n_1,n_2,ldots,n_p$ for which $n_1+n_2+ldots+n_p=n$.


Can we prove these four binomial coefficient identities?

By considering the expansion of ((1+x)^n) where (n) is a positive integer, or otherwise, show that:

To answer part (i), we put (x=1) into (eqref) , which tells us that [ 2^n=sum_^ndbinom. ]

By considering the expansion of ((1+x)^n) where (n) is a positive integer, or otherwise, show that:

Let’s start by using the expansion. This time we want [sum_^n kdbinom.]

We know that (dbinom = dfrac<(n-k)!k!>) so let’s try rearranging this expression to something more helpful.

This is helpful because we could substitute it for the binomial terms and then the (k) in the summation will cancel, but at the moment the rest isn’t very helpful, so let’s have another play!

Using the very common “trick” of adding and subtracting the same value we can rearrange (dfrac<(n-k)!(k-1)!>=dfrac<((n-1)-(k-1))!(k-1)!>) which is very helpful because the denominator now looks like it comes from a binomial coefficient, and we know we can just separate out the (n) in the numerator as we did before with (k) thus giving us (dbinom=dfrac imes dbinom) .

We can now rewrite [sum_^n kdbinom = sum_^n k dfracdbinom=sum_^n ndbinom=nsum_^n dbinom.]

Comparing to part (i) [sum_^ndbinom=2^n] we note that we want (k) to run through from (1) to (n) which means (k-1) runs from (0) to (n-1) so we can use the result from (i) if we change the summation to finish at (n-1)

Note that we know (n ge 1) and this time (k) runs from (1) to (n) so (n-1) and (k-1) do not cause any issues.

Let’s continue to work through using manipulations of the binomial coefficients.

This time we note that we are asked for [eginمجموع_^n dfrac<1> dbinom. label نهاية]

We would like to pull out a factor of (k+1) to cancel in (eqref). So we write [ frac<(n-k)!k!>=(k+1)frac<(n-k)!(k+1)!>, ] and to make this of the right form, we write [ (k+1)frac<(n-k)!(k+1)!>=fracfrac<(n+1)!><(n-k)!(k+1)!>=frac. ] Using this in (eqref) , we have [ sum_^nfrac<1>dbinom=sum_^nfrac<1>=frac<1>مجموع_^. ] This is really close to being able to apply part (i), but (k) starts at (1) in the sum rather than (0) . Since (=1) , we run the sum from (0) but compensate by subtracting (1) , that is, [ frac<1>مجموع_^=frac<1>left(sum_^-1 ight). ] So we can now apply (i), and we find that [ sum_^nfrac<1>dbinom=frac<1>(2^-1), ] as required.

We can straight away apply that (dbinom=dfracdbinom) , as we deduced in part (ii), to find that [ sum_^nk^2dbinom=sum_^n nkdbinom=nsum_^ (k+1)dbinom. ] We are really close to being able to apply (ii) again, but we have (k+1) and not (k) as the coefficient of (inom). However, we can write [ nsum_^(k+1)=nsum_^left(k+ ight). ] Now the first term we can find from part (ii) ( (k) runs from zero rather than one, but the first term is zero anyway), and moreover we can find the second term by part (i). Therefore, we have that [ sum_^nk^2dbinom=n((n-1)2^+2^)=n2^(n-1+2)=n(n+1)2^, ] as required.

What happens if we simply differentiate (eqref) with respect to (x) , and then put (x = 1) ?

The right-hand side becomes exactly as desired, and the left-hand side is (n(1+x)^) evaluated at (x = 1) , which is indeed (n2^) .

Taking our cue from part (ii), we can integrate both sides of (eqref) now. The sensible limits are 0 and 1.

So we have [int_0^1(1+x)^n :dx = left[xdbinom<0>+dfrac<1><2>dbinom<1>x^2+dotsb+dfrac<1>dbinomx^ ight]_0^1.]

while the right hand side is also exactly what we need.

  1. start with equation (eqref) ,
  2. differentiate once,
  3. multiply by (x) , and then
  4. differentiate a second time.

Now if we put (x = 1) , as before, this should prove our identity.

Using the product rule on the LHS, we have

which is, when we evaluate at (x = 1, , n(n+1)2^,) as desired.

The RHS is also exactly what we want when evaluated at (x = 1) , and so the given identity for part (iv) is true.

UCLES STEP Mathematics I, 2010, Q5

Question reproduced by kind permission of Cambridge Assessment Group Archives. The question remains Copyright University of Cambridge Local Examinations Syndicate (“UCLES”), All rights reserved.


شاهد الفيديو: نظرية ذات الحدين رياضيات ثاني ثانوي. الفصل الثاني (ديسمبر 2021).