مقالات

13.8.8: الأسس العقلانية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {1} {n}} )
  • تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {m} {n}} )
  • استخدم قوانين الأسس لمجرد التعابير ذات الأسس المنطقية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. أضف: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. بسّط: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ 3 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. بسّط: (5 ^ {- 3} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {1} {n}} )

الأسس المنطقية هي طريقة أخرى لكتابة التعبيرات باستخدام الجذور. عندما نستخدم ملفات الأسس المنطقية، يمكننا تطبيق خواص الأسس لتبسيط المقادير.

تقول خاصية الطاقة للأسس أن ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ) عندما م و ن هي أعداد صحيحة. لنفترض أننا لم نقتصر الآن على الأعداد الصحيحة.

افترض أننا نريد إيجاد رقم ص مثل هذا ((8 ^ ع) ^ 3 = 8 ). سوف نستخدم خاصية القوة للأسس لإيجاد قيمة ص.

[ begin {array} {cc} {} & {(8 ^ p) ^ 3 = 8} { text {اضرب الأسس على اليسار.}} & {8 ^ {3p} = 8} { text {اكتب الأس 1 على اليمين.}} & {8 ^ {3p} = 8 ^ 1} { text {يجب أن تكون الأسس متساوية.}} & {3p = 1} { text {Solve for p.}} & {p = frac {1} {3}} nonumber end {array} ]

لكننا نعرف أيضًا (( sqrt [3] {8}) ^ 3 = 8 ). إذًا يجب أن يكون (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} )

يمكن استخدام هذا المنطق نفسه لأي أس صحيح موجب ن لتوضيح ذلك (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

التعريف: القيمة المنطقية (a ^ { frac {1} {n}} )

إذا كان ( sqrt [n] {a} ) رقمًا حقيقيًا و (n ge 2 ) ، (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

ستكون هناك أوقات يكون فيها العمل مع التعبيرات أسهل إذا كنت تستخدم الأسس المنطقية والأوقات التي سيكون من الأسهل فيها استخدام الجذور. في الأمثلة القليلة الأولى ، ستتدرب على تحويل التعبيرات بين هذين الرمزين.

مثال ( PageIndex {1} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه

نريد كتابة كل تعبير بالصيغة ( sqrt [n] {a} ).

1. (x ^ { frac {1} {2}} )
مقام الأس هو 2 ، وبالتالي فإن فهرس الجذر هو 2. ولا نعرض الفهرس عندما يكون 2. ( sqrt {x} )
2. (y ^ { frac {1} {3}} )
مقام الأس هو 3 ، وبالتالي فإن الفهرس هو 3. ( sqrt [3] {y} )
3. (z ^ frac {1} {4}} )
مقام الأس هو 4 ، حتى يكون الفهرس 4. ( sqrt [4] {z} )

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (م ^ { فارك {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

مثال ( PageIndex {3} )

اكتب كتعبير جذري:

  1. (b ^ { frac {1} {2}} )
  2. (z ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
  1. ( sqrt {b} )
  2. ( sqrt [3] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

مثال ( PageIndex {4} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {x} )
  2. ( sqrt [3] {y} )
  3. ( sqrt [4] {z} ).
إجابه

نريد كتابة كل جذري بالصيغة (a ^ { frac {1} {n}} ).

1. ( sqrt {x} )
لا يوجد فهرس معروض ، لذا فهو 2. مقام الأس سيكون 2. (x ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {y} )
الفهرس هو 3 ، لذا فإن مقام الأس هو 3. (y ^ { frac {1} {3}} )
3. ( sqrt [4] {z} )
الفهرس هو 4 ، لذا فإن مقام الأس هو 4. (z ^ { frac {1} {4}} )

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {s} )
  2. ( sqrt [3] {x} )
  3. ( sqrt [4] {b} ).
إجابه
  1. (s ^ { frac {1} {2}} )
  2. (x ^ { frac {1} {3}} )
  3. (b ^ { frac {1} {4}}

مثال ( PageIndex {6} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {v} )
  2. ( sqrt [3] {p} )
  3. ( sqrt [4] {p} ).
إجابه
  1. (v ^ { frac {1} {2}} )
  2. (p ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )

مثال ( PageIndex {7} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4x} )
  3. (3 sqrt [4] {5z} ).
إجابه
1. ( sqrt {5y} )
لا يوجد فهرس معروض ، لذا فهو 2. مقام الأس سيكون 2. ((5y) ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {4x} )
الفهرس هو 3 ، لذا فإن مقام الأس هو 3. ((4x) ^ { frac {1} {3}} )
3. (3 sqrt [4] {5z} )
الفهرس هو 4 ، لذا فإن مقام الأس هو 4. (3 (5z) ^ { frac {1} {4}} )

مثال ( PageIndex {8} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3n} )
  3. (3 sqrt [4] {6y} ).
إجابه
  1. ((10 ^ م) ^ { فارك {1} {2}} )
  2. ((3n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((486y) ^ { frac {1} {4}} )

مثال ( PageIndex {9} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt [7] {3k} )
  2. ( sqrt [4] {5j} )
  3. ( sqrt [3] {82a} ).
إجابه
  1. ((3 كيلو) ^ { frac {1} {7}} )
  2. ((5j) ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((1024a) ^ { frac {1} {3}} )

في المثال التالي ، قد تجد أنه من الأسهل تبسيط التعابير إذا أعدت كتابتها على هيئة جذور أولاً.

مثال ( PageIndex {10} )

تبسيط:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
أعد كتابته في صورة جذر تربيعي. ( sqrt {25} )
تبسيط.5
2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
أعد كتابته في صورة جذر تكعيبي. ( sqrt [3] {64} )
التعرف على 64 هو مكعب مثالي. ( sqrt [3] {4 ^ 3} )
تبسيط.4
3. (256 ^ { frac {1} {4}} )
أعد كتابته كجذر رابع. ( sqrt [4] {256} )
التعرف على 256 هو قوة رابعة مثالية. ( sqrt [4] {4 ^ 4} )
تبسيط.4

مثال ( PageIndex {11} )

تبسيط:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
  1. 6
  2. 2
  3. 2

مثال ( PageIndex {12} )

تبسيط:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
  1. 10
  2. 3
  3. 3

كن حذرًا من وضع العلامات السلبية في المثال التالي. سنحتاج إلى استخدام الخاصية (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ) في حالة واحدة.

مثال ( PageIndex {13} )

تبسيط:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} ).
إجابه
1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
أعد كتابته في صورة جذر تكعيبي. ( sqrt [3] {- 64} )
أعد كتابة − 64 كمكعب كامل. ( sqrt [3] {(- 4) ^ 3} )
تبسيط.−4
2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
الأس ينطبق فقط على 64. (- (64 ^ { frac {1} {3}}) )
أعد كتابته في صورة جذر تكعيبي. (- sqrt [3] {64} )
أعد كتابة 64 بالشكل (4 ^ 3 ). (- sqrt [3] {4 ^ 3} )
تبسيط.−4
3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} )

أعد الكتابة في صورة كسر بأس موجب ، باستخدام الخاصية ، (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

اكتب في صورة جذر تكعيبي.

( frac {1} { sqrt [3] {64}} )
أعد كتابة 64 بالشكل (4 ^ 3 ). ( frac {1} { sqrt [3] {4 ^ 3}} )
تبسيط. ( فارك {1} {4} )

مثال ( PageIndex {14} )

تبسيط:

  1. ((- 125) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 125 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((125) ^ {- frac {1} {3}} ).
إجابه
  1. −5
  2. −5
  3. ( فارك {1} {5} )

مثال ( PageIndex {15} )

تبسيط:

  1. ((- 32) ^ { frac {1} {5}} )
  2. (- 32 ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((32) ^ {- frac {1} {5}} ).
إجابه
  1. −2
  2. −2
  3. ( فارك {1} {2} )

مثال ( PageIndex {16} )

تبسيط:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} ).
إجابه
1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
أعد كتابته كجذر رابع. ( sqrt [4] {- 16} )
لا يوجد عدد حقيقي قوته الرابعة −16.
2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
الأس ينطبق فقط على 16. (- (16 ^ { frac {1} {4}}) )
أعد كتابته كجذر رابع. (- sqrt [4] {16} )
أعد كتابة 16 بالشكل (2 ^ 4 ) (- sqrt [4] {2 ^ 4} )
تبسيط.−2
3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

أعد الكتابة في صورة كسر بأس موجب ، باستخدام الخاصية ، (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )
أعد كتابته كجذر رابع. ( frac {1} { sqrt [4] {16}} )
أعد كتابة 16 بالشكل (2 ^ 4 ). ( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ 4}} )
تبسيط. ( فارك {1} {2} )

مثال ( PageIndex {17} )

تبسيط:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} ).
إجابه
  1. −8
  2. −8
  3. ( فارك {1} {8} )

مثال ( PageIndex {18} )

تبسيط:

  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} ).
إجابه
  1. −4
  2. −4
  3. ( فارك {1} {4} )

تبسيط التعبيرات باستخدام (a ^ { frac {m} {n}} )

دعونا نعمل مع خاصية القوة للأسس أكثر من ذلك.

لنفترض أننا رفعنا (a ^ { frac {1} {n}} ) إلى السلطة م.

[ start {array} {ll} {} & {(a ^ { frac {1} {n}}) ^ m} { text {ضرب الأس.}} & {a ^ { frac {1} {n} · m}} { text {Simplify.}} & {a ^ { frac {m} {n}}} { text {So} a ^ { frac {m } {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m text {also.}} & {} nonumber end {array} ]

لنفترض الآن أننا أخذنا (a ^ m ) إلى قوة ( frac {1} {n} ).

[ start {array} {ll} {} & {(a ^ m) ^ { frac {1} {n}}} { text {ضرب الأس.}} & {a ^ {m · frac {1} {n}}} { text {Simplify.}} & {a ^ { frac {m} {n}}} { text {So} a ^ { frac {m } {n}} = sqrt [n] {a ^ m} text {also.}} & {} nonumber end {array} ]

ما الشكل الذي نستخدمه لتبسيط التعبير؟ عادة ما نأخذ الجذر أولاً - وبهذه الطريقة نحافظ على الأرقام في الجذر وأصغر.

التعريف: EXPONENT المنطقي (a ^ { frac {m} {n}} )

لأي أعداد صحيحة موجبة م و ن,

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m )

(a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} )

مثال ( PageIndex {19} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {y ^ 3} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ 2} )
  3. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
إجابه

نريد استخدام (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} ) لكتابة كل جذري بالصيغة (a ^ { frac {m} {n }} ).

مثال ( PageIndex {20} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt {x ^ 5} )
  2. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
  3. ( sqrt [5] {y ^ 2} ).
إجابه
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. (z ^ { frac {3} {4}} )
  3. (y ^ { frac {2} {5}} )

مثال ( PageIndex {21} )

اكتب الأس المنطقي:

  1. ( sqrt [5] {a ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {b ^ 7} )
  3. ( sqrt [4] {m ^ 5} ).
إجابه
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. (b ^ { frac {7} {3}} )
  3. (م ^ { فارك {5} {4}} )

مثال ( PageIndex {22} )

تبسيط:

  1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {3} {4}} ).
إجابه

سنعيد كتابة كل تعبير كجذر أولاً باستخدام الخاصية ، (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ). تتيح لنا هذه الصورة أخذ الجذر أولاً ، وبالتالي نحتفظ بالأرقام في الجذر وأصغر مما لو استخدمنا الصيغة الأخرى.

1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
قوة الجذر هي بسط الأس 3. بما أن مقام الأس هو 2 ، فهذا جذر تربيعي. (( sqrt {9}) ^ 3 )
تبسيط.(3^3)
27
2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
قوة الجذر هي بسط الأس 2. بما أن مقام الأس هو 3 ، فهذا جذر تربيعي. (( sqrt [3] {125}) ^ 2 )
تبسيط.(5^2)
25
3. (81 ^ { frac {3} {4}} )
قوة الجذر هي بسط الأس 2. بما أن مقام الأس هو 3 ، فهذا جذر تربيعي. (( sqrt [4] {81}) ^ 3 )
تبسيط.(3^3)
27

مثال ( PageIndex {23} )

تبسيط:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ { frac {3} {4}} ).
إجابه
  1. 8
  2. 9
  3. 125

مثال ( PageIndex {24} )

تبسيط:

  1. (8 ^ { frac {5} {3}} )
  2. (81 ^ { frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ { frac {3} {4}} ).
إجابه
  1. 32
  2. 729
  3. 8

تذكر أن (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). العلامة السالبة في الأس لا تغير من علامة التعبير.

مثال ( PageIndex {25} )

تبسيط:

  1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
  3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
إجابه

سنعيد كتابة كل تعبير أولاً باستخدام (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ) ثم نغير إلى صيغة جذرية.

1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
أعد الكتابة باستخدام (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )
التغيير إلى الشكل الجذري. قوة الجذر هي بسط الأس 3. الفهرس هو مقام الأس 2. ( frac {1} {( sqrt {16}) ^ 3} )
تبسيط. ( فارك {1} {4 ^ 3} )
( فارك {1} {64} )
2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
أعد الكتابة باستخدام (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )
التغيير إلى الشكل الجذري. ( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ 2} )
أعد كتابة الجذر في صورة قوة. ( frac {1} {( sqrt [5] {2 ^ 5}) ^ 2} )
تبسيط. ( فارك {1} {2 ^ 2} )
( فارك {1} {4} )
3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
أعد الكتابة باستخدام (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {4 ^ { frac {5} {2}}} )
التغيير إلى الشكل الجذري. ( frac {1} {( sqrt {4}) ^ 5} )
تبسيط. ( فارك {1} {2 ^ 5} )
( فارك {1} {32} )

مثال ( PageIndex {26} )

تبسيط:

  1. (8 ^ {- frac {5} {3}} ) 8
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} ).
إجابه
  1. ( فارك {1} {32} )
  2. ( فارك {1} {729} )
  3. ( فارك {1} {8} )

مثال ( PageIndex {27} )

تبسيط:

  1. (4 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} ).
إجابه
  1. ( فارك {1} {8} )
  2. ( فارك {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

مثال ( PageIndex {28} )

تبسيط:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
إجابه
1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
أعد الكتابة في شكل جذري. (- ( sqrt {25}) ^ 3 )
بسّط الجذر(−5^3)
تبسيط.−125
2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
أعد الكتابة باستخدام (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). (- ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}}) )
أعد الكتابة في شكل جذري. (- ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ 3}) )
بسّط الجذر. (- ( frac {1} {5 ^ 3}) )
تبسيط. (- frac {1} {125} )
3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
أعد الكتابة في شكل جذري. (( sqrt {−25}) ^ 3 )
لا يوجد عدد حقيقي جذره التربيعي − 25.ليس رقمًا حقيقيًا.

مثال ( PageIndex {29} )

تبسيط:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} ).
إجابه
  1. −64
  2. (- frac {1} {64} )
  3. ليس رقم حقيقي

مثال ( PageIndex {30} )

تبسيط:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} ).
إجابه
  1. −729
  2. (- فارك {1} {729} )
  3. ليس رقم حقيقي

استخدم قوانين الأسس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس المنطقية

تنطبق نفس قوانين الأس التي استخدمناها بالفعل على الأس المنطقي أيضًا. سنقوم بإدراج خصائص الأس هنا لتكون مرجعاً لها أثناء قيامنا بتبسيط التعبيرات.

ملخص خصائص EXPONENT

إذا كانت أ ، ب أعداد حقيقية و م ، ن أعداد نسبية ، إذن

[ start {array} {ll} { textbf {Product Property}} & {a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n}} { textbf {Power Property}} & {(a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}} { textbf {Product to a Power}} & {(ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m}} { textbf {خاصية الحصة}} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}، a ne 0، m> n} {} & { frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}، a ne 0، n> m} { textbf {Zero Exponent Definition}} & {a ^ 0 = 1، a ne 0} { textbf {Quotient to a Power Property}} & {( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}، b ne 0} عدد نهاية {مجموعة} ]

عندما نضرب الأساس نفسه ، نجمع الأسس.

مثال ( PageIndex {31} )

تبسيط:

  1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
  2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
  3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} ).
إجابه
1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
الأسس هي نفسها ، لذلك نجمع الأسس. (2 ^ { frac {1} {2} + frac {5} {2}} )
اجمع الكسور. (2 ^ { frac {6} {2}} )
بسّط الأس.(2^3)
تبسيط.8
2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
الأسس هي نفسها ، لذلك نجمع الأسس. (x ^ { frac {2} {3} + frac {4} {3}} )
اجمع الكسور. (x ^ { frac {6} {3}} )
تبسيط. (س ^ 2 )
3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} )
الأسس هي نفسها ، لذلك نجمع الأسس. (z ^ { frac {3} {4} + frac {5} {4}} )
اجمع الكسور. (z ^ { frac {8} {4}} )
تبسيط. (ض ^ 2 )

مثال ( PageIndex {32} )

تبسيط:

  1. (3 ^ { frac {2} {3}} · 3 ^ { frac {4} {3}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} · y ^ { frac {8} {3}} )
  3. (m ^ { frac {1} {4}} · m ^ { frac {3} {4}} ).
إجابه
  1. 9
  2. (ص ^ 3 )
  3. م

مثال ( PageIndex {33} )

تبسيط:

  1. (5 ^ { frac {3} {5}} · 5 ^ { frac {7} {5}} )
  2. (z ^ { frac {1} {8}} · z ^ { frac {7} {8}} )
  3. (n ^ { frac {2} {7}} · n ^ { frac {5} {7}} ).
إجابه
  1. 25
  2. ض
  3. ن

سنستخدم خاصية الطاقة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {34} )

تبسيط:

  1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} ).
إجابه
1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. (x ^ {4 · frac {1} {2}} )
تبسيط. (س ^ 2 )
2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. (y ^ {6 · frac {1} {3}} )
تبسيط. (ص ^ 2 )
3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. (z ^ {9 · frac {2} {3}} )
تبسيط. (ض ^ 6 )

مثال ( PageIndex {35} )

تبسيط:

  1. ((p ^ {10}) ^ { frac {1} {5}} )
  2. ((q ^ 8) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((x ^ 6) ^ { frac {4} {3}} )
إجابه
  1. (ص ^ )
  2. (ف ^ 6 )
  3. (س ^ 8 )

مثال ( PageIndex {36} )

تبسيط:

  1. ((r ^ 6) ^ { frac {5} {3}} )
  2. ((s ^ {12}) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((م ^ 9) ^ { فارك {2} {9}} )
إجابه
  1. (ص ^ {10} )
  2. (ث ^ 9 )
  3. (م ^ 2 )

تخبرنا خاصية Quotient أنه عندما نقسم على نفس القاعدة ، فإننا نطرح الأسس.

مثال ( PageIndex {37} )

تبسيط:

  1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
  3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} ).
إجابه
1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
للقسمة على نفس الأساس ، نطرح الأسس. (x ^ { frac {4} {3} - frac {1} {3}} )
تبسيط.x
2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
للقسمة على نفس الأساس ، نطرح الأسس. (y ^ { frac {3} {4} - frac {1} {4}} )
تبسيط. (y ^ { frac {1} {2}} )
3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} )
للقسمة على نفس الأساس ، نطرح الأسس. (z ^ { frac {2} {3} - frac {5} {3}} )
أعد الكتابة بدون الأس السالب. ( frac {1} {z} )

مثال ( PageIndex {38} )

تبسيط:

  1. ( frac {u ^ { frac {5} {4}}} {u ^ { frac {1} {4}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {3} {5}}} {v ^ { frac {2} {5}}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} ).
إجابه
  1. ش
  2. (v ^ { frac {1} {5}} )
  3. ( فارك {1} {س} )

مثال ( PageIndex {39} )

تبسيط:

  1. ( frac {c ^ { frac {12} {5}}} {c ^ { frac {2} {5}}} )
  2. ( frac {m ^ { frac {5} {4}}} {m ^ { frac {9} {4}}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} ).
إجابه
  1. (ج ^ 2 )
  2. ( فارك {1} {m} )
  3. ( فارك {1} {د} )

نحتاج أحيانًا إلى استخدام أكثر من خاصية واحدة. في المثالين التاليين ، سنستخدم كلاً من المنتج إلى خاصية الطاقة ثم خاصية الطاقة.

مثال ( PageIndex {40} )

تبسيط:

  1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
إجابه
1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. ((27) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
أعد كتابة 27 بقوة 3. ((3 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. ((3 ^ 2) (u ^ { frac {1} {3}}) )
تبسيط. (9u ^ { frac {1} {3}} )
2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. ((8) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
أعد كتابة 8 بقوة 2. ((2 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. ((2 ^ 2) (v ^ { frac {1} {6}}) )
تبسيط. (4v ^ { frac {1} {6}} )

مثال ( PageIndex {41} )

تبسيط:

  1. (32x ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ((64y ^ { frac {2} {3}}) ^ { frac {1} {3}} ).
إجابه
  1. (8x ^ { frac {1} {5}} )
  2. (4y ^ { frac {2} {9}} )

مثال ( PageIndex {42} )

تبسيط:

  1. ((16 م ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ((81n ^ { frac {2} {5}}) ^ { frac {3} {2}} ).
إجابه
  1. (64 م ^ { frac {1} {2}} )
  2. (729n ^ { frac {3} {5}} )

مثال ( PageIndex {43} )

تبسيط:

  1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
  2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} ).
إجابه
1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. ((m ^ {3}) ^ { frac {1} {3}} (n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. (مليون ^ 3 )
2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
أولاً ، نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. ((p ^ {4}) ^ { frac {1} {4}} (q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
لرفع أس إلى أس ، نضرب الأسس. (ص ^ 2 )

سنستخدم كلاً من المنتج وخصائص الحصة في المثال التالي.

تمرين ( PageIndex {44} )

تبسيط:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} ).
إجابه
1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
استخدم خاصية المنتج في البسط ، أضف الأس. ( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
استخدم خاصية الحاصل ، اطرح الأس. (x ^ { frac {8} {4}} )
تبسيط. (س ^ 2 )
2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
استخدم خاصية المنتج في البسط ، أضف الأس. ( frac {y ^ { frac {7} {3}}} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
استخدم خاصية الحاصل ، اطرح الأس. (y ^ { frac {9} {3}} )
تبسيط. (ص ^ 3 )

مثال ( PageIndex {45} )

تبسيط:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} · m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( frac {n ^ { frac {1} {6}} · n} {n ^ {- frac {11} {6}}} ).
إجابه
  1. (م ^ 2 )
  2. (n ^ 3 )

مثال ( PageIndex {46} )

تبسيط:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} · u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {1} {2}} · v} {v ^ {- frac {7} {2}}} ).
إجابه
  1. (u ^ 3 )
  2. (ت ^ 5 )

المفاهيم الرئيسية

  • ملخص خصائص الأس
  • إذا كانت أ ، ب أعداد حقيقية و م ، ن أعداد نسبية ، إذن
    • خاصية المنتج (a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n} )
    • خاصية الطاقة ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} )
    • المنتج إلى قوة ((أب) ^ م = أ ^ {م} ب ^ {م} )
    • خاصية الحاصل:

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}، a ne 0، m> n )

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}، a ne 0، n> m )

    • تعريف الأس الصفري (أ ^ 0 = 1 ، أ ني 0 )
    • الحاصل على خاصية الطاقة (( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}، b ne 0 )

قائمة المصطلحات

الأسس المنطقية
  • إذا كان ( sqrt [n] {a} ) رقمًا حقيقيًا و (n ge 2 ) ، (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )
  • لأي أعداد صحيحة موجبة م و نو (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ) و (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n ] {a ^ m} )

13.8.8: الأسس العقلانية

يوجد أدناه قائمة من النغمات في 19-edo ، مع الأحرف الاسمية باستخدام "C" كمرجع (كما هو الحال في تدوين الموسيقى الموضح أعلاه) ، والتي تظهر معادلات enharmonic التي تحدث في 19-edo:

كان اقتراحًا مبكرًا وبسيطًا للغاية لضبط واحد يعني 1/3 فاصلة واحدة وقريبتها 19-edo. أقدم إشارة إلى الضبط الذي قد يكون 19-edo موجودة في الرسالة الخامسة من مخطوطة بيركلي - على الرغم من أنه ليس من الواضح بالضبط كيف يعمل الضبط الموصوف هنا ، فإنه ينص على أن النغمة مقسمة إلى 3 أجزاء ، وهي على ما يبدو متساوية. أول استخدام مزعوم لهذا التوليف كان بواسطة Guillaume Costeley في عام 1558 ، في كتابه Seigneur Dieu ta piti & eacute. كانت الإشارة المبكرة الأكثر شهرة لكلا الضبطين من قبل ساليناس في عام 1577.

1/4-فاصلة تعني واحدة هي الضبط الوحيد للعائلة الواحدة التي توفر "نغمة" وهي الوسيط الدقيق بين حجمي "نغمات" ذات 5 حدود فقط - نغمة 1/3 تعني الفاصلة واحدة و 19 إيدو أصغر من المعنى الحقيقي ، وأقرب في الحجم إلى نسبة 10: 9 ، وهي أصغر نغمتين فقط.

تعد الضبطات الأسرية ذات النغمات المتوسطة مهمة جدًا من الناحية التاريخية لتطور الموسيقى الغربية ، حيث تعتمد النماذج التي تفترضها نظرية الموسيقى "العامة" إلى حد كبير على إزالة أو تلطيف الفاصلة التركيبية ، والتي ربما تكون الأكثر السمة البارزة لجميع النغمات.

لاحظ أنه بينما في الضبط المألوف لـ 12-edo (والذي يعد أيضًا عضوًا في عائلة واحدة) ، هناك مجموعة كاملة من المكافئات enharmonic ، بحيث يمكن أيضًا "تهجئة" جميع الملاحظات السبعة التي تحتوي على "مسطحات" مثل 7 ملاحظات مختلفة التي تحتوي على "الأدوات الحادة" جنبًا إلى جنب مع خطوة اسمية واحدة أقل ، في جميع النغمات الأخرى ، تكون "المسطحات" أعلى في طبقة الصوت من "الأدوات الحادة" التي يُفترض أنها مكافئة للتناغم. هذا هو عكس الحالة في الضبط الفيثاغوري الأقدم بكثير ، وكذلك عكس الحالة في "التنغيم التعبيري" الذي تم تدريسه على نطاق واسع في مدارس العزف الأوروبية منذ زمن بيتهوفن (حوالي 1800).

كانت التوليفات الخاصة بالعائلة الواحدة هي الأقرب إلى الضبط "القياسي" في معظم أنحاء أوروبا من حوالي 1500 إلى 1700 ، ولا تزال توجد بشكل شائع على لوحات المفاتيح (خاصة الأعضاء) حتى حوالي عام 1850. سيكون من العدل أن نقول إن معظم الموسيقى ذات الآلات الموسيقية من فترات عصر النهضة والباروك كان من المفترض أن يتم لعبها في شكل ما يعني واحدًا ، وحتى بعد نمو شعبية المزاج الجيد للوحات المفاتيح بعد عام 1700 ، كان هناك شكل من أشكال المعنى (بشكل عام أشبه بـ 1/6 فاصلة أو 55-edo ) كان لا يزال مخصصًا للموسيقى الأوركسترالية.

خلال فترة حياة موزارت (أواخر القرن الثامن عشر) ، بدأ عازفو الأوركسترا باستخدام "نغمة معبرة" انحرفت نحو فيثاغورس ، وشجعت لغة بيتهوفن الموسيقية بالتأكيد انتشار 12 إيدو ، ولكن إلى حد ما يعني استمرار العزف على الأوركسترا حتى حوالي وقت واغنر (منتصف إلى أواخر القرن التاسع عشر). بعد التبني شبه العالمي لـ 12-edo ، أعرب ماهلر عن أسفه لخسارة المعنى في أوائل القرن العشرين. (انظر مونزو ، قرن من الموسيقى الجديدة في فيينا.)

1/3 فاصلة تعني أحد "الخامس" - المولد - هو (3/2) / ((81/80) (1/3)). باستخدام إضافة المتجهات ، هذا: هذا له تأثير على تلطيف الفاصلة التركيبية بحيث تختفي ، مما يجعل 4 "5s" ناقص 2 "8ves" قريبة إلى حد ما من "الكبرى الثالثة": الفرق بين التجويد العادل و 1/3-فاصلة تعني أن أحد "العناصر الثلاثة الرئيسية" هو: هذا المقدار هو بالضبط 1/3 من الفاصلة المتزامنة.

بافتراض تكافؤ "الأوكتاف" (أي أن الأس 2 لا علاقة لها ببناء المقياس ، لذلك أضفت 2-2 إلى المتجه هنا لوضع الملاحظة في المرجع "الأوكتاف") ، الملاحظة التالية في الدورة بعد "الخامس" ، دورة المولدات +2 ، هي "نغمة كاملة" 2 (2/3) 3 - (2/3) 5 (2/3) =

189.5724753 سنتًا. إذا قارنا هذا بالتنغيم فقط "النغمات الكاملة" ، بطرح النغمة المعنى من فيثاغورس الأكبر 9/8 وطرح الحد الأصغر 5 - 10/9 من النغمة المقصودة ، فسنجد أين يقع المعنى بين الاثنين فقط - نغمات كاملة:

مقياس صوتي ذو 7 نغمات في 1/3 فاصلة يعني أن الشخص يحتوي فقط على حجمين "خطوة":

189.5724753 سنتًا "نغمة كاملة" موصوفة أعلاه ، بين C: D ، D: E ، F: G ، G: A ، و A: B ، و

126.0688117 سنت "نصف نغمة مقطوعة الصوت" بين E: F و B: C:

7 نغمة 1/3 فاصلة تعني مقياسًا مقطعيًا

يؤدي إدخال "Bb" في المقياس إلى ظهور فاصل زمني جديد بين الدرجات: the

63.50366367 سنتًا "نصف نغمة لونية" بين Bb: B:

1/3 فاصلة تعني مقياسًا مقطعيًا واحدًا مع Bb

بالاستمرار في إضافة النغمات في أي من طرفي السلسلة ، وصلنا في النهاية إلى المقياس اللوني "النموذجي" المكون من 12 نغمة المستخدم في أوروبا خلال العصر المقصود ، من Eb إلى G #. يحتوي هذا المقياس على فواصل زمنية بين الدرجات فقط حجمين من النغمات النصفية ، اللوني والتشكيلات الصوتية:

تؤدي إضافة ملاحظة أخرى إلى أي من الطرفين إلى ظهور فاصل زمني جديد آخر بين الدرجات ، من

62.565148 سنتًا ، بين G #: Ab في مثالي هنا:

يمكن أن نرى من الأرقام ومن الرسم البياني أن هذا الفاصل الزمني تقريبًا بنفس حجم آخر فاصل مشتق ، وبالتالي لا يوجد فرق أساسي في 1/3 فاصلة تعني واحدًا بين نصف النغمة اللونية والقضيب التنافسي - و في 19-edo ، هما في الواقع بنفس الحجم تمامًا:

قد يستمر المرء في إضافة 6 ملاحظات أخرى بهذه الطريقة دون مواجهة حجم خطوة يختلف اختلافًا جذريًا ، وبالتالي نظرًا للتشابه بين 1/3 فاصلة تعني إحدى النغمات شبه اللونية والقضيب المتناغم ، فإن تقسيم "8ve" يميل إلى تصبح متساوية:

19 نغمة 1/3 فاصلة تعني مقياس لوني واحد

يمكن أن نرى من الرسم البياني أعلاه أن هذا يقسم "8ve" إلى 19 خطوة متطابقة تقريبًا ، وبالتالي يمكن بسهولة استنتاج أن الملاحظات الجديدة الأخرى ستكون مشابهة تمامًا لتلك التي تم إنتاجها بالفعل ، وبالتالي فإن النظام في أغلق التأثير عند 19 ورقة نقدية.

إذا تمت إضافة ملاحظة رقم 20 ، على سبيل المثال -7 (Cb) ، فسيحدث فاصل زمني صغير جديد بين الدرجات ، وهو في الواقع نفس "diesis الصغيرة" المحسوبة أعلاه:

15 /16) سنت ، بين Cb و B #:

لجميع المقاصد والأغراض ، قد يتم تجاهل هذا الاختلاف ، بحيث يمكن اعتبار 19-edo مطابقًا لسلسلة 19 نغمة من 1/3 فاصلة تعني واحدًا.

0.049395561 سنت: هذا المبلغ الضئيل هو الفرق بين 1/3 فاصلة تعني "الخامس" و 19 إيدو "5".

20 نغمة 1/3 فاصلة تعني مقياس واحد

يوجد أدناه رسم بياني يوضح ارتفاع درجة الصوت لهذه السلسلة المكونة من 20 نغمة من 1/3 فاصلة واحدة. يربط الخط الأحمر بين الملعبين القريبين من بعضهما البعض.

20 نغمة 1/3 فاصلة تعني سلسلة واحدة

لا يمكن تمييز 19-إيدو مسموعًا عن 1/3 فاصلة. 2 (11/19) = 696.7741935 سنت. باستخدام إضافة المتجه مرة أخرى لمقارنة 1/3 فاصلة تعني "5" مع 19-edo "5" ، نحصل على فرق بين الاثنين:

وبالتالي ، فإن 2 (19/3) * 3 - (19/3) * 5 (19/3) تعمل كمتجه متناسق وهو ليس يخفف في 1/3 فاصلة تعني واحدًا ، ويعمل بمثابة ناقل متناسق هو خفف في 19-edo. نظرًا لأن هذا الفاصل الزمني صغير جدًا ، فلا فرق حقًا سواء تم تخفيفه "رسميًا" أم لا: سيبدو وكأنه انسجام في كلتا الحالتين.

وصف ساليناس في عام 1577 (De Musica ، الكتاب 3 ، الفصل 16) 1/3 فاصلة تعني بدقة رياضية لأول مرة. أولاً قام ببناء نظام نغمة 24 نغمة ، والذي يحتوي على أزواج مكررة من بعض النغمات بفاصلة متناغمة ، أعلى منها كان يسمى "superius" والسفلى "inferius". ثم شرح مقدار التهدئة لكل من النغمات المقصودة. من خلال تلطيف الفاصلة الكاملة الموجودة بين 5 أزواج من درجات "superius / inferius" ، قلل عدد النغمات من 24 إلى 19.

يوجد أدناه شبكة شعرية تضع 1/3-فاصلة ساليناس في الفضاء الرئيسي وتظهر علاقتها بنظام التنغيم فقط ، كما يصفها ، تمثل الأسهم المائلة الفاصلة المتزامنة:

يمكن ملاحظة أن جميع نغمات الصوت المقصود هي إما تلك الموجودة في نظام نغمات Salinas بالضبط ، أو هي 1/3 أو 2/3 أو فاصلة كاملة أعلى أو أقل من تلك الموجودة في نظام التنغيم الخاص به.

يمضي في شرح كيفية تلطيف نظام التجويد الذي يحتوي على 24 ملاحظة في 19 ملاحظة من 2/7-فاصلة تعني واحدًا ، ثم أيضًا في 19 ملاحظة من 1/4 فاصلة تعني واحدة ، والتي أعلن عنها أخيرًا أنها أفضل المزاجات الثلاثة.

لم يذكر ساليناس صراحة الطبيعة المتساوية لقسمة 8v في 1/3-فاصلة يعني واحدًا ، لكنه كان سيعرف عنها بنفسه ويمكن استنتاجها من القياسات التي وصفها. أنظمة 19 نغمة من 2/7-فاصلة و 1/4-فاصلة تعني أن واحدًا أقل تباعدًا متساويًا ، أقرب إلى مجموعات فرعية من 50-edo و 31-edo ، على التوالي.

يوجد أدناه مخطط شبكي مثلث مكون من 5 حدود لنسب التنغيم فقط ، يُظهر مثالًا على كتلة دورية ذات 19 نغمة محددة ومحددة بواسطة متجهين متجانسين ، الفاصلة المتزامنة والفاصلة السحرية ، والتي يمكن أن تشكل إلى 19-edo. البيانات المقدمة لكل نقطة شعرية هي تمثيل نسبة الملاحظة ، درجة 19-edo ، واسم الحرف (مع عرضي عند الحاجة).

في الواقع ، يصف هذا الهيكل تمامًا بنية الترنيم العادل لساليناس كما هو موصوف أعلاه.

يوجد أدناه رسمان بيانيان دائريان لـ 19-edo في معناه المعتاد للاستخدام الفردي (كن على علم بأن 19-edo ينتمي أيضًا إلى عائلات مزاجية أخرى!). يرتب أحد الرسوم البيانية النغمات بترتيب عددي بواسطة مولدات درجة سلمية 1/3 نغمة حول الدائرة ، والآخر يرتب النغمات بترتيب المولدات الصوتية -5 يظهر كلاهما التكافؤ التوافقي الذي يحدث في 19-edo.

19-إيدو دائرة من درجات

دائرة 19-edo-of-5


مشاكل الممارسة

أوجد مساحة سطح الهرم الموضحة أدناه.

مساحة سطح الهرم

= & # xa0 مجموع مساحات الوجوه الخمسة

في الهرم أعلاه ، القاعدة عبارة عن مربع طول ضلعه 5 سم ، ويكون كل جدار مثلثًا قاعدته 5 سم وارتفاعه 8 سم.

دعونا نجد مساحة كل وجه على حدة & # xa0

مساحة القاعدة & # xa0 = & # xa05 x 5 & # xa0 = & # xa025 sq.cm

مساحة كل جدار جانبي & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 5 x 8 & # xa0 = & # xa020 sq.cm & # xa0

مساحة جميع الجدران الجانبية الأربعة & # xa0 = & # xa04 x 20 & # xa0 = & # xa080 sq.cm & # xa0

مساحة سطح الهرم أعلاه

أوجد مساحة سطح الهرم الموضحة أدناه.

مساحة سطح الهرم

= & # xa0 مجموع مساحات الوجوه الأربعة

في الهرم أعلاه ، القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 4 سم وكل جدار عبارة عن مثلث قاعدته 4 سم وارتفاعه 6 سم.

دعونا نجد مساحة كل وجه على حدة & # xa0

مساحة القاعدة & # xa0 = & # xa0 (√3 / 4) x 4 2 & # xa0 = & # xa04 √3 سم مربع

مساحة كل جدار جانبي & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 4 x 6 & # xa0 = & # xa012 sq.cm & # xa0

مساحة جميع الجدران الجانبية الثلاثة & # xa0 = & # xa03 x 12 & # xa0 = & # xa036 sq.cm & # xa0

مساحة سطح الهرم أعلاه & # xa0

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


شاهد الفيديو: دقيقة فطرة 26: العقلانية الوحيدة! (ديسمبر 2021).