مقالات

8.4: اختبارات التقارب - اختبار المقارنة


لقد رأينا أن الاختبار المتكامل يسمح لنا بتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بتكامل غير لائق ذي صلة. في هذا القسم ، نوضح كيفية استخدام اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بسلسلة معروفة تقاربها أو تباعدها. عادةً ما تُستخدم هذه الاختبارات لتحديد تقارب السلاسل التي تشبه السلاسل الهندسية أو السلسلة p.

اختبار المقارنة

في القسمين السابقين ، ناقشنا فئتين كبيرتين من السلاسل: سلسلة هندسية وسلسلة p. نحن نعلم بالضبط متى تتقارب هذه السلسلة ومتى تتباعد. نوضح هنا كيفية استخدام التقارب أو الاختلاف لهذه السلسلة لإثبات التقارب أو الاختلاف لسلسلة أخرى ، باستخدام طريقة تسمى اختبار المقارنة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2} ]

نظرًا لأن المصطلحات في كل سلسلة موجبة ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين

[0 < dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) ، (kth ) المجموع الجزئي (S_k ) من ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ) استوفي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} < sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

(انظر الشكل (أ) والجدول.) بما أن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب ، فإن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. نستنتج أن ({S_k} ) هو تسلسل متزايد رتيب محدد أعلاه. لذلك ، من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، يتقارب ({S_k} ) ، وبالتالي

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ]

يتقارب.

وبالمثل ، انظر إلى السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتباعدة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n}. ]

تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب و

[ dfrac {1} {n − 1/2}> dfrac {1} {n}> 0 ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، فإن مجموع (kth ) الجزئي (S_k ) من

[ sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n − 1/2} ]

استوفي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2}> sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n}. ]

(راجع الشكل ( PageIndex {1n} ) والجدول ( PageIndex {1} )). نظرًا لأن السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ) تتباعد إلى ما لا نهاية ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية ( sum ^ k_ {n = 1} 1 / n ) غير محدود. وبالتالي ، فإن ({S_k} ) هو تسلسل غير محدود ، وبالتالي يتباعد. نستنتج أن

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2} ]

يتباعد.

الجدول ( PageIndex {1} ): مقارنة سلسلة بـ a (p ) - series ( (p = 2 ))
(ك)12345678
( sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} )0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n ^ 2} )11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
جدول ( PageIndex {2} ): مقارنة سلسلة مع المتسلسلة التوافقية
(ك)12345678

( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n − 1/2} )

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n} )11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

اختبار المقارنة

  1. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (0≤a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ). إذا تقارب ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب.
  2. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (a_n≥b_n≥0 ) للجميع (n≥N. ) إذا تباعد ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

دليل

نثبت الجزء الأول. إثبات الجزء الثاني. هو المانع للجزء الأول. لنفترض أن ({S_k} ) هو تسلسل المجاميع الجزئية المرتبطة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) ، واجعل (L = sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). منذ الشروط (a_n0، )

[S_k = a_1 + a_2 + ⋯ + a_k≤a_1 + a_2 + ⋯ + a_k + a_ {k + 1} = S_ {k + 1}. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية آخذ في الازدياد. علاوة على ذلك ، منذ (a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ) ، إذن

[ sum_ {n = N} ^ ka_n≤ sum_ {n = N} ^ kb_n≤ sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = L. لا يوجد رقم]

لذلك ، للجميع (k≥1 ) ،

[S_k = (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + sum_ {n = N} ^ ka_n≤ (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + L. لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1} ) هو رقم محدد ، فإننا نستنتج أن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. لذلك ، ({S_k} ) هو تسلسل متزايد محدد أعلاه. من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، نستنتج أن ({S_k} ) يتقارب ، وبالتالي فإن السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب.

لاستخدام اختبار المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد سلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) ، من الضروري العثور على سلسلة مناسبة للمقارنة بها. نظرًا لأننا نعرف خصائص التقارب للسلسلة الهندسية والمتسلسلة p ، فغالبًا ما يتم استخدام هذه السلاسل. إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (n≥N ) ، فإن كل مصطلح يكون أقل من كل مصطلح مطابق لسلسلة متقاربة معروفة ، ثم ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب. وبالمثل ، إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل أنه بالنسبة للجميع (n≥N ) ، يكون كل مصطلح a أكبر من كل مصطلح مطابق لسلسلة متباعدة معروفة ، ثم ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) يتباعد.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام اختبار المقارنة

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد.

  1. ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} )
  2. ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {2 ^ n + 1} )
  3. ( sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} { ln ، n} )

حل

أ. قارن بـ ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ). نظرًا لأن ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ) هي سلسلة p مع (p = 3 ) ، فهي تتقارب. إضافه على،

[ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} < dfrac {1} {n ^ 3} nonumber ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} ) يتقارب.

ب. قارن بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {1} {2}) ^ n ). بما أن ( sum_ {n = 1} ^ ∞ ( dfrac {1} {2}) ^ n ) عبارة عن سلسلة هندسية بها (r = 1/2 ) و (| 1/2 | <1 ) ، تتقارب. أيضا،

[ dfrac {1} {2 ^ n + 1} < dfrac {1} {2 ^ n} non Number ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، نرى أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {2 ^ n + 1} ) يتقارب.

ج. قارن بـ ( sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ). حيث

[ dfrac {1} {ln ، n}> dfrac {1} {n} non Number ]

لكل عدد صحيح (n≥2 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ) يتباعد ، لدينا هذا ( sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} { ln ، n} ) تباعد.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

ابحث عن قيمة (p ) مثل ( dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ≤ dfrac {1} {n ^ p} ).

إجابه

السلسلة تتقارب.

اختبار مقارنة الحد

يعمل اختبار المقارنة بشكل جيد إذا تمكنا من العثور على سلسلة مماثلة تفي بفرضية الاختبار. ومع ذلك ، قد يكون من الصعب أحيانًا العثور على سلسلة مناسبة. تأمل السلسلة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1}. ]

من الطبيعي مقارنة هذه السلسلة بالسلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

ومع ذلك ، فإن هذه السلسلة لا تفي بالفرضية اللازمة لاستخدام اختبار المقارنة بسبب

[ dfrac {1} {n ^ 2−1}> dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة (n≥2 ). على الرغم من أنه يمكننا البحث عن سلسلة مختلفة للمقارنة بها ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / (n ^ 2−1) ، ) بدلاً من ذلك نوضح كيف يمكننا استخدام اختبار المقارنة المحدودة لمقارنة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

و

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

دعونا نفحص الفكرة الكامنة وراء اختبار المقارنة المحدد. ضع في اعتبارك سلسلتين ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). بشروط موجبة (a_n ) و (b_n ) وتقييمها

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n}. ]

إذا

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = L ≠ 0، ]

ثم ، من أجل (n ) كبيرة بما يكفي ، (a_n≈Lb_n ). لذلك ، تتقارب كلتا السلسلتين أو تتباعد كلتا السلسلتين. بالنسبة للسلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / (n ^ 2−1) ) و ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ^ 2 ) ، نرى ذلك

[ lim_ {n → ∞} dfrac {1 / (n ^ 2−1)} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {n ^ 2} {n ^ 2−1 } = 1. ]

نظرًا لأن ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ^ 2 ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

يتقارب.

يمكن استخدام اختبار المقارنة في حالتين أخريين. افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = 0. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل محدود. نتيجة لذلك ، يوجد ثابت (M ) مثل (a_n≤Mb_n ). لذلك ، إذا تقارب ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب. من ناحية أخرى ، افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = ∞. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل غير محدود. لذلك ، لكل ثابت (M ) يوجد عدد صحيح (N ) بحيث (a_n≥Mb_n ) للجميع (n≥N. ) لذلك ، إذا ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتباعد ، ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد أيضًا.

اختبار مقارنة الحد

دع (a_n، b_n≥0 ) للجميع (n≥1. )

  1. إذا ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = L ≠ 0، ) ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو يتباعد.
  2. إذا تقارب ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) تتقارب.
  3. إذا تباعد ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

لاحظ أنه إذا تباعد (a_n / b_n → 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يعطي أي معلومات. وبالمثل ، إذا تقارب (a_n / b_n → ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، لا يوفر الاختبار أيضًا أي معلومات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلتين ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / sqrt {n} ) و ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 2 ). هذه السلسلة كلاهما من سلسلة p مع (ع = 1/2 ) و (ع = 2 ) ، على التوالي. بما أن (p = 1/2> 1، ) تتباعد السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / sqrt {n} ). من ناحية أخرى ، بما أن (p = 2 <1 ) ، فإن السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 2 ) تتقارب. ومع ذلك ، لنفترض أننا حاولنا تطبيق اختبار المقارنة المحدود ، باستخدام المتقارب ص السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 3 ) كسلسلة المقارنة الخاصة بنا. أولا ، نحن نرى ذلك

[ dfrac {1 / sqrt {n}} {1 / n ^ 3} = dfrac {n ^ 3} { sqrt {n}} = n ^ {5/2} → ∞ كـ n → ∞. ]

وبالمثل ، نرى ذلك

[ dfrac {1 / n ^ 2} {1 / n ^ 3} = n → ∞ كـ n → ∞. ]

لذلك ، إذا (a_n / b_n → ∞ ) عندما ( sum_ {n = 1} ^ ∞b_n ) لا نحصل على أي معلومات حول التقارب أو الاختلاف في ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار مقارنة الحدود

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار مقارنة الحد لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد. إذا لم يتم تطبيق الاختبار ، فقل ذلك.

  1. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} )
  2. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} )
  3. (displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {ln (n)} {n ^ 2})

حل

أ. قارن هذه السلسلة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ). احسب

( lim_ {n → ∞} dfrac {1 / ( sqrt {n} +1)} {1 / sqrt {n}} = lim_ {n → ∞} dfrac { sqrt {n}} { sqrt {n} +1} = lim_ {n → ∞} dfrac {1 / sqrt {n}} {1 + 1 / sqrt {n}} = 1. )

من خلال اختبار مقارنة الحد ، نظرًا لأن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ) يتباعد ، ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} ) يتباعد.

ب. قارن هذه السلسلة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {2} {3}) ^ n ). نحن نرى ذلك

( lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ⋅ dfrac {3 ^ n} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} [1 + ( dfrac {1} {2}) ^ n] = 1. )

لذلك،

( lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = 1. )

بما أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {2} {3}) ^ n ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n +1} {3 ^ n} ) تتقارب.

ج. منذ (lnn

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n}. )

من أجل تقييم ( lim_ {n → ∞} lnn / n ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) للدالة الحقيقية القيمة (ln (x) / x ). هاتان الحدين متساويتان ، ويسمح لنا إجراء هذا التغيير باستخدام قاعدة L’Hôpital. نحصل

( lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. )

لذلك ، ( lim_ {n → ∞} lnn / n = 0 ) ، وبالتالي ،

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n} = 0. )

نظرًا لأن الحد هو (0 ) ولكن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n} ) متباعد ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يوفر أي معلومات.

قارن مع ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) بدلاً من ذلك. في هذه الحالة،

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ 2 } {1} = lim_ {n → ∞} lnn = ∞. )

نظرًا لأن الحد (∞ ) ولكن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) متقارب ، لا يزال الاختبار لا يوفر أي معلومات.

والآن نحاول سلسلة بين الاثنين التي جربناها بالفعل. باختيار السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) ، نرى ذلك

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n ^ {3/2}} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ {3/2}} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} { sqrt {n}} ).

على النحو الوارد أعلاه ، من أجل تقييم ( lim_ {n → ∞} lnn / sqrt {n} ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) للدالة ذات القيمة الحقيقية (lnx / sqrt { س} ). باستخدام قاعدة L’Hôpital ،

( lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} { sqrt {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {2 sqrt {x}} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {2} { sqrt {x}} = 0 ).

نظرًا لأن الحد (0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) يتقارب ، يمكننا أن نستنتج أن ( sum ^ ∞ _ {n = 1} dfrac {lnn} {n ^ 2} ) تتقارب.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم اختبار مقارنة الحدود لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {5 ^ n} {3 ^ n + 2} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

قارن مع سلسلة هندسية.

إجابه

المسلسل يتباعد.

المفاهيم الرئيسية

  • تُستخدم اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد السلاسل ذات المصطلحات الإيجابية.
  • عند استخدام اختبارات المقارنة ، غالبًا ما تتم مقارنة سلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) بسلسلة هندسية أو سلسلة p.

قائمة المصطلحات

اختبار المقارنة
إذا تقارب (0≤a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} أ_n ) تتقارب ؛ إذا تباعد (a_n≥b_n≥0 ) للجميع (n≥N ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} أ_n ) يتباعد
اختبار المقارنة المحدودة
افترض (a_n ، b_n≥0 ) للجميع (n≥1 ). إذا ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → L ≠ 0 ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو كلاهما يتباعد ؛ إذا تقارب ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) تتقارب. إذا تباعد ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد

8.4: اختبارات التقارب - اختبار المقارنة

الآن بعد أن رأينا كيفية حساب التكاملات غير الصحيحة فعليًا ، نحتاج إلى معالجة موضوع آخر عنها. غالبًا لا نهتم بالقيمة الفعلية لهذه التكاملات. بدلاً من ذلك ، قد نهتم فقط بما إذا كان التكامل متقاربًا أو متشعبًا. أيضًا ، ستكون هناك بعض التكاملات التي لن نتمكن من دمجها ومع ذلك ما زلنا نرغب في معرفة ما إذا كانت تتقارب أم تتباعد.

للتعامل مع هذا ، لدينا اختبار للتقارب أو الاختلاف يمكننا استخدامه لمساعدتنا في الإجابة على سؤال التقارب للتكامل غير الصحيح.

سنقدم هذا الاختبار فقط لحالة فرعية من تكامل الفاصل اللانهائي ، ولكن توجد إصدارات من الاختبار للحالات الفرعية الأخرى من تكاملات الفاصل اللانهائي وكذلك التكاملات ذات التكامل غير المستمر.

اختبار المقارنة

إذا (f left (x right) ge g left (x right) ge 0 ) على الفاصل ( left [ صحيح اذا،

لاحظ أنه إذا كنت تفكر من حيث المنطقة ، فإن اختبار المقارنة منطقي للغاية. إذا كان (f left (x right) ) أكبر من (g left (x right) ) ، فيجب أيضًا أن تكون المنطقة الموجودة أسفل (f left (x right) ) أكبر من منطقة تحت (ز يسار (س يمين) ).

لذلك ، إذا كانت المساحة تحت الدالة الأكبر محدودة (بمعنى آخر. ( int _ << ، a >> ^ << ، infty >> <> ) يتقارب) ثم يجب أيضًا أن تكون المنطقة الواقعة تحت الوظيفة الأصغر محدودة (بمعنى آخر. ( int _ << ، a >> ^ << ، infty >> <> ) يتقارب). وبالمثل ، إذا كانت المنطقة الواقعة تحت الوظيفة الأصغر غير محدودة (بمعنى آخر. ( int _ << ، a >> ^ << ، infty >> <> ) يتباعد) ثم يجب أن تكون المنطقة الواقعة تحت الوظيفة الأكبر أيضًا لانهائية (بمعنى آخر. ( int _ << ، a >> ^ << ، infty >> <> ) يتباعد).

احرص على عدم إساءة استخدام هذا الاختبار. إذا كانت الدالة الأصغر تتقارب ، فلا يوجد سبب للاعتقاد بأن الدالة الأكبر ستتقارب أيضًا (بعد كل ما تكون اللانهاية أكبر من عدد محدود ...) وإذا تباعدت الدالة الأكبر فلا يوجد سبب للاعتقاد بأن الدالة الأصغر ستتباعد أيضًا.

فلنعمل على مثالين باستخدام اختبار المقارنة. لاحظ أن كل ما يمكننا فعله هو تحديد تقارب التكامل. لن نكون قادرين على تحديد قيمة التكاملات وبالتالي لن نهتم بذلك.

لنأخذ ثانية ونفكر في كيفية عمل اختبار المقارنة. إذا كان هذا التكامل متقاربًا ، فسنحتاج إلى إيجاد دالة أكبر تتقارب أيضًا في نفس الفترة. وبالمثل ، إذا كان هذا التكامل متشعبًا ، فسنحتاج إلى إيجاد دالة أصغر تتباعد أيضًا.

لذلك ، يبدو أنه سيكون من الجيد أن يكون لديك فكرة عما إذا كان التكامل يتقارب أو يتباعد في وقت مبكر ، لذلك سنعرف ما إذا كنا سنحتاج إلى البحث عن وظيفة أكبر (ومتقاربة) أو وظيفة أصغر (ومتباعدة) .

للحصول على تخمين لهذه الوظيفة ، دعنا نلاحظ أن البسط جميل ومحدود لأننا نعلم ذلك ،

لذلك ، لن يصبح البسط كبيرًا جدًا.

لذلك ، يبدو من المرجح أن المقام سيحدد التقارب / الاختلاف لهذا التكامل ونعلم أن

يتقارب منذ (p = 2 & gt 1 ) من خلال الحقيقة الواردة في القسم السابق. لذا ، دعنا نخمن أن هذا التكامل سوف يتقارب.

نعلم الآن أننا بحاجة لإيجاد دالة أكبر من

ويتقارب أيضًا. جعل الكسر أكبر عملية بسيطة إلى حد ما. يمكننا إما أن نجعل البسط أكبر أو نجعل المقام أصغر. في هذه الحالة لا يمكننا فعل الكثير بشأن المقام بطريقة تساعد. ومع ذلك ، يمكننا استخدام حقيقة أن (0 le < cos ^ 2> x le 1 ) لجعل البسط أكبر (بمعنى آخر. سنستبدل جيب التمام بشيء نعرف أنه أكبر ، أي 1). وبالتالي،

الآن ، كما أشرنا بالفعل

تتقارب وهكذا من خلال اختبار المقارنة نعرف ذلك

دعونا أولاً نتخمين حول تقارب هذا التكامل. كما لوحظ بعد الحقيقة في المقطع الأخير حول

إذا ذهب التكامل إلى الصفر أسرع من ( frac <1>) ومن المحتمل أن يتقارب التكامل. الآن ، لدينا رقم أسي في المقام يقترب من اللانهاية أسرع بكثير من (x ) ولذا يبدو أن هذا التكامل ربما يجب أن يتقارب.

إذن ، نحتاج إلى دالة أكبر تتقارب أيضًا. في هذه الحالة ، لا يمكننا بالفعل تكبير البسط ، ولذا سنحتاج إلى تصغير المقام لجعل الدالة أكبر ككل. سنحتاج إلى توخي الحذر مع ذلك. هناك طريقتان للقيام بذلك ، واحدة فقط ، في هذه الحالة واحدة فقط ، ستعمل من أجلنا.

أولاً ، لاحظ أنه نظرًا لأن الحد الأدنى للتكامل هو 3 ، يمكننا أن نقول ذلك (x ge 3 & gt 0 ) ونعلم أن الأسي دائمًا موجب. إذن ، المقام هو مجموع حدين موجبين ، وإذا أسقطنا أحدهما ، فسيصبح المقام أصغر. وهذا بدوره سيجعل الوظيفة أكبر.

السؤال إذن هو أي واحد يسقط؟ دعونا أولا إسقاط الأسي. القيام بهذا يعطي ،

هذه مشكلة مع ذلك ، منذ ذلك الحين

يتباعد عن الحقيقة. لدينا وظيفة أكبر متشعبة. هذا لا يقول أي شيء عن الوظيفة الأصغر. لذلك ، اخترنا الخطأ الذي يجب إسقاطه.

دعونا نحاول مرة أخرى وهذه المرة دعونا نسقط (س ).

إذًا ، ( int _ << ، 3 >> ^ << ، infty >> <<<< bf> ^ <- x >> ، dx >> ) متقاربة. لذلك ، من خلال اختبار المقارنة

هذا مشابه جدًا للمثال السابق مع بعض الاختلافات المهمة جدًا. أولاً ، لاحظ أن الأسي ينتقل الآن إلى الصفر مع زيادة (x ) بدلاً من زيادة حجمه كما حدث في المثال السابق (بسبب السالب في الأس). لاحظ أيضًا أن الأسي يُطرح الآن من (س ) بدلاً من إضافته إليه.

حقيقة أن الأسي يذهب إلى الصفر يعني أن (x ) في المقام هذه المرة من المحتمل أن يهيمن على المصطلح وهذا يعني أن التكامل ربما يتباعد. لذلك سنحتاج إلى إيجاد دالة أصغر تنحرف أيضًا.

جعل الكسور أصغر يشبه إلى حد كبير جعل الكسور أكبر. في هذه الحالة ، سنحتاج إما إلى تصغير البسط أو تكبير المقام.

هذا هو المكان الذي سيبدأ فيه التغيير الثاني. كما كان من قبل ، نعلم أن كلا من (x ) والأسي موجبان. ومع ذلك ، هذه المرة نظرًا لأننا نطرح الأسي من (x ) إذا أردنا إسقاط الأسي ، فسيصبح المقام أكبر (لن نطرح رقمًا موجبًا من (x )) وهكذا سيصبح الكسر أصغر. بعبارات أخرى،

يتباعد وهكذا نعرف ذلك من خلال اختبار المقارنة

لاحظ أولاً أنه كما في المثال الأول ، سيتم تقييد البسط في هذه الدالة لأن الجيب لا يزيد أبدًا عن 1. لذلك ، نظرًا لأن الأس الموجود في المقام أقل من 1 ، يمكننا تخمين أن التكامل ربما ينحرف. سنحتاج إلى دالة أصغر تتباعد أيضًا.

نعلم أن (0 le 3 < sin ^ 4> left (<2x> right) le 3 ). على وجه الخصوص ، هذا الحد موجب ، وبالتالي إذا أسقطناه من البسط ، فسيصبح البسط أصغر. هذا يعطي،

يتباعد ذلك عن طريق اختبار المقارنة

حتى هذه النقطة ، جميع الأمثلة المستخدمة في معالجة البسط أو المقام من أجل استخدام اختبار المقارنة. لا تنشغل بهذه الفكرة لدرجة أنك قررت أن هذا هو كل ما عليك فعله. ستحتاج أحيانًا إلى معالجة كل من البسط والمقام.

لنفعل مثالاً كهذا.

في هذه الحالة ، نلاحظ أنه نظرًا لأن جيب التمام في البسط محدود ، فلن يصبح البسط كبيرًا جدًا. وبالمثل ، فإن الجيب في المقام مقيد ، ومرة ​​أخرى لن يصبح هذا المصطلح كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا.

هذا يترك فقط الجذر التربيعي في المقام ولأن الأس أقل من واحد يمكننا تخمين أن التكامل سيتباعد على الأرجح. لذلك ، سنحتاج إلى دالة أصغر تتباعد أيضًا.

نعلم أن (0 le < cos ^ 2> left (x right) le 1 ). على وجه الخصوص ، هذا الحد موجب ، وبالتالي إذا أسقطناه من البسط ، فسيصبح البسط أصغر. هذا يعطي،

بعد ذلك ، نعلم أيضًا أن (0 le < sin ^ 4> left (x right) le 1 ). مرة أخرى ، هذا حد موجب ، وبالتالي إذا لم نعد نطرح هذا من 2 ، فإن الحد بين القوسين سيصبح أكبر وبالتالي يصبح التعبير المنطقي أصغر. هذا يعطي،

التباعد (لن يؤثر الرقم 2 في المقام على ذلك) لذلك من خلال اختبار المقارنة

حسنًا ، لقد رأينا بعض الأمثلة على اختبار المقارنة الآن. ومع ذلك ، عمل معظمهم بنفس الطريقة. كانت جميع الدوال منطقية وكل ما فعلناه لمعظمها هو جمع أو طرح شيء من البسط و / أو المقام للحصول على ما نريد.

دعنا نلقي نظرة على مثال يعمل بشكل مختلف قليلاً حتى لا ننشغل كثيرًا بهذه الأفكار.

عادةً ما يقودنا وجود (x ) في المقام إلى تخمين التباعد لهذا التكامل. ومع ذلك ، فإن الأسي في البسط سيقترب من الصفر بسرعة كبيرة ، وبدلاً من ذلك سنحتاج إلى تخمين أن هذا التكامل يتقارب.

للحصول على دالة أكبر سنستخدم حقيقة أننا نعلم من حدود التكامل أن (x & gt 1 ). هذا يعني أننا إذا استبدلنا (x ) في المقام بـ 1 (والذي يكون دائمًا أصغر من (x )) فسنجعل المقام أصغر وبالتالي ستصبح الوظيفة أكبر.

يتقارب. في الواقع ، لقد قمنا بهذا بالفعل للحد الأدنى من 3 ولن يغير تغيير ذلك إلى 1 تقارب التكامل. لذلك ، من خلال اختبار المقارنة

يجب علينا أيضًا عمل مثال لا يتضمن دالة عقلانية لأنه لا يوجد سبب لافتراض أننا سنعمل دائمًا مع وظائف عقلانية.

نحن نعلم أن الأسس ذات الأس السالب تنخفض إلى الصفر بسرعة كبيرة ، لذلك من المنطقي تخمين أن هذا التكامل سيكون متقاربًا. نحتاج إلى دالة أكبر ، لكن هذه المرة ليس لدينا كسر صغير للعمل به ، لذا سنحتاج إلى عمل شيء مختلف.

سنستفيد من حقيقة أن (<< bf> ^ <- x >> ) دالة متناقصة. هذا يعني ذاك

بعبارة أخرى ، أدخل عددًا أكبر وتصغر الدالة.

من حدود التكامل نعلم أن (x & gt 1 ) وهذا يعني أننا إذا تربعت (x ) فسيصبح أكبر. أو،

لاحظ أنه لا يمكننا قول هذا إلا منذ (x & gt 1 ). لن يكون هذا صحيحًا إذا (x le 1 )! يمكننا الآن استخدام حقيقة أن (<< bf> ^ <- x >> ) هي دالة متناقصة للحصول عليها ،

إذن ، (<< bf> ^ <- x >> ) دالة أكبر من (<< bf>^< - >> ) ونحن نعلم ذلك

يتقارب لذلك من خلال اختبار المقارنة نعرف ذلك أيضًا

استخدم المثالان الأخيران حقيقة أن (x & gt 1 ). دعنا نلقي نظرة على مثال لنرى كيف سيتعين علينا القيام بذلك إذا كان الحد الأدنى أصغر من 1.

أولاً ، يجب أن نلاحظ أن (<< bf>^< - >> le << bf> ^ <- x >> ) صحيح فقط على الفاصل ( left [<1، infty> right) ) كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.

لذلك ، لا يمكننا المتابعة كما فعلنا في المثال السابق مع اختبار المقارنة على الفاصل الزمني ( left [ <2>، infty> right) ). ومع ذلك ، هذه ليست المشكلة التي قد تبدو للوهلة الأولى. يمكننا دائمًا كتابة التكامل على النحو التالي ،

استخدمنا Mathematica للحصول على قيمة التكامل الأول. الآن ، إذا تقارب التكامل الثاني ، فسيكون له قيمة محدودة ، وبالتالي فإن مجموع قيمتين محددتين سيكون أيضًا محدودًا وبالتالي سيتقارب التكامل الأصلي. وبالمثل ، إذا تباعد التكامل الثاني ، فسيكون إما لانهائيًا أو ليس له قيمة على الإطلاق ، وإضافة رقم محدد إلى هذا لن يجعله فجأةً محدودًا أو موجودًا ، وبالتالي فإن التكامل الأصلي سيتباعد. لذلك ، هذا التكامل سوف يتقارب أو يتباعد اعتمادًا فقط على تقارب التكامل الثاني.

كما رأينا في مثال 7 ، يتقارب التكامل الثاني ، وبالتالي يجب أن يتقارب التكامل بأكمله أيضًا.

كما رأينا في هذا المثال ، إذا احتجنا إلى ذلك ، يمكننا تقسيم التكامل إلى واحد لا يتضمن أي مشاكل ويمكن حسابه وواحد قد يحتوي على مشكلة يمكننا استخدام اختبار المقارنة عليها لتحديد مدى تقاربها. .


حساب التفاضل والتكامل النشط

تحت أي ظروف تتقارب سلسلة متناوبة؟ لماذا ا؟

إلى أي مدى يقارب المجموع الجزئي (n ) th لسلسلة بديلة متقاربة المجموع الفعلي للسلسلة؟ لماذا ا؟

حتى الآن ، اعتبرنا المتسلسلات ذات مصطلحات غير سالبة حصريًا. بعد ذلك ، نعتبر المتسلسلات التي لها بعض الحدود السالبة. على سبيل المثال ، السلسلة الهندسية

لديه (a = 2 ) و (r = - frac <2> <3> text <،> ) بحيث يتم تبديل كل مصطلح آخر. هذه السلسلة تتقارب إلى

في نشاط المعاينة 8.4.1 ومناقشتنا التالية ، نقوم بالتحقيق في سلوك سلسلة مماثلة حيث يكون للمصطلحات المتتالية علامات معاكسة.

معاينة النشاط 8.4.1.

أظهر نشاط المعاينة 8.3.1 كيف يمكننا تقريب الرقم (هـ ) بالتقريب الخطي والتربيعي والتقريب متعدد الحدود الآخر. نستخدم نهجًا مشابهًا في هذا النشاط للحصول على تقريب خطي وتربيعي لـ ( ln (2) text <.> ) على طول الطريق ، نواجه نوعًا من السلاسل يختلف عن معظم تلك التي رأيناها بعيد جدا. خلال هذا النشاط ، دع (f (x) = ln (1 + x) text <.> )

ابحث عن خط المماس لـ (f ) عند (x = 0 ) واستخدم هذا الخطي لتقريب ( ln (2) text <.> ) أي ، ابحث عن (L (x) text <،> ) تقريب خط الظل إلى (f (x) text <،> ) واستخدم حقيقة أن (L (1) almost f (1) ) لتقدير ( ln (2 ) نص <.> )

لا يوفر خطي ( ln (1 + x) ) تقريبًا جيدًا جدًا لـ ( ln (2) ) نظرًا لأن (1 ) ليس قريبًا من (0 نص <.> ) للحصول على تقريب أفضل ، نغير نهجنا بدلاً من استخدام خط مستقيم لتقريب ( ln (2) text <،> ) نستخدم دالة تربيعية لحساب تقعر ( ln ( 1 + x) ) لـ (x ) بالقرب من (0 text <.> ) باستخدام الخطية ، تتفق كل من قيمة الدالة والميل مع قيمة الخطية والانحدار عند (x = 0 text < .> ) سنقوم الآن بعمل تقريب تربيعي (P_2 (x) ) إلى (f (x) = ln (1 + x) ) متمركز في (x = 0 ) مع الخاصية التي (P_2 (0) = f (0) text <،> ) (P'_2 (0) = f '(0) text <،> ) و (P' '_ 2 (0) = f "(0) نص <.> )

دع (P_2 (x) = x - frac<2> text <.> ) أظهر أن (P_2 (0) = f (0) text <،> ) (P'_2 (0) = f '(0) text <،> ) و (P '' _ 2 (0) = f '' (0) text <.> ) استخدم (P_2 (x) ) لتقريب ( ln (2) ) باستخدام حقيقة ذلك (P_2 (1) تقريبًا و (1) نص <.> )

يمكننا الاستمرار في تقريب ( ln (2) ) مع كثيرات الحدود من الدرجة الأكبر التي تتوافق مشتقاتها مع مشتقات (f ) في (0 text <.> ) وهذا يجعل كثيرات الحدود تتناسب مع الرسم البياني لـ ( f ) أفضل لمزيد من قيم (x ) حول (0 text <.> ) على سبيل المثال ، دع (P_3 (x) = x - frac<2> + frac<3> text <.> ) أظهر أن (P_3 (0) = f (0) text <،> ) (P'_3 (0) = f '(0) text <،> ) (P '' _ 3 (0) = f '' (0) text <،> ) و (P '' _ 3 (0) = f '' (0) text <.> ) باستخدام نهج مماثل للأسئلة السابقة ، استخدم (P_3 (x) ) لتقريب ( ln (2) text <.> )

إذا استخدمنا درجة (4 ) أو درجة (5 ) متعددة الحدود لتقريب ( ln (1 + x) نص <،> ) ما هي تقريب ( ln (2) ) هل أعتقد أن النتيجة؟ استخدم الأسئلة السابقة لتخمين نمط ثابت ، وحدد درجة التقريب (4 ) والدرجة (5 ).

القسم الفرعي 8.4.1 اختبار السلسلة المتناوب

يعطينا نشاط المعاينة 8.4.1 عدة تقديرات تقريبية لـ ( ln (2) text <.> ) التقريب الخطي هو (1 نص <،> ) والتقريب التربيعي هو (1 - فارك < 1> <2> = frac <1> <2> text <.> ) إذا واصلنا هذه العملية ، مكعب ، رباعي (درجة (4 )) ، خماسي (درجة (5 )) ، و تعطينا كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى التقديرات التقريبية لـ ( ln (2) ) في الجدول 8.4.1.

الجدول 8.4.1.

خطي (1) (1)
تربيعي (1 - فارك <1> <2> ) (0.5)
مكعب (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> ) (0.8 خط علوي <3> )
رباعي (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> - فارك <1> <4> ) (0.58 overline <3> )
الخماسي (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> - فارك <1> <4> + فارك <1> <5> ) (0.78 خط علوي <3> )

يوضح النمط هنا أنه يمكن تقريب ( ln (2) ) بالمجموع الجزئية للسلسلة اللانهائية

حيث يتم الإشارة إلى العلامات البديلة بالعامل ((- 1) ^ text <.> ) نحن نطلق على مثل هذه السلسلة اسم سلسلة بالتناوب.

باستخدام التكنولوجيا الحسابية ، نجد أن مجموع أول 100 حد في هذه السلسلة هو 0.6881721793. للمقارنة ، ( ln (2) حوالي 0.6931471806 text <.> ) يوضح هذا أنه على الرغم من أن السلسلة (8.4.1) تتقارب مع ( ln (2) text <،> ) فهي يجب أن يفعل ذلك ببطء شديد ، نظرًا لأن مجموع أول 100 مصطلح ليس قريبًا بشكل خاص من ( ln (2) text <.> ) سنحقق في مسألة مدى سرعة تقارب سلسلة بديلة لاحقًا في هذا القسم .

التعريف 8.4.2.

السلسلة المتناوبة هي سلسلة من النموذج

حيث (a_k gt 0 ) لكل (k text <.> )

لدينا بعض المرونة في كيفية كتابة سلسلة بديلة على سبيل المثال ، السلسلة

يبدأ الفهرس الذي يبدأ عند (k = 1 text <،> ) أيضًا بالتناوب. كما سنرى قريبًا ، هناك العديد من النتائج الجيدة جدًا التي تصمد في المتسلسلة المتناوبة ، بينما يمكن أن تُظهر السلسلة المتناوبة أيضًا بعض السلوك غير المعتاد.

من المهم أن تتذكر أن معظم اختبارات السلسلة التي رأيناها في الأقسام السابقة تنطبق فقط على سلسلة ذات مصطلحات غير سلبية. تتطلب السلسلة المتناوبة اختبارًا مختلفًا.

النشاط 8.4.2.

تذكر أن السلسلة ، بحكم تعريفها ، تتقارب إذا وفقط إذا تقارب تسلسلها المقابل للمجاميع الجزئية.

احسب المجاميع الجزئية القليلة الأولى (حتى 10 منازل عشرية) من المتسلسلة البديلة

قم بتسمية كل مجموع جزئي بالتدوين (S_n = sum_^ (-1)^ فارك <1>) لاختيار مناسب لـ (n text <.> )

ارسم تسلسل المجاميع الجزئية من الجزء (أ). ماذا تلاحظ في هذا التسلسل؟

يوضح النشاط 8.4.2 السلوك العام لأي سلسلة متناوبة متقاربة. نرى أن المجاميع الجزئية للسلسلة التوافقية المتناوبة تتأرجح حول رقم ثابت يتبين أنه مجموع المتسلسلة.

تذكر ذلك إذا ( lim_ a_k neq 0 text <،> ) ثم السلسلة ( sum a_k ) تتباعد عن طريق اختبار الاختلاف. من هذه النقطة فصاعدًا ، سننظر فقط في سلسلة متناوبة

حيث يتكون التسلسل (a_k ) من أرقام موجبة تنخفض إلى (0 نص <.> ) (n ) المجموع الجزئي (S_n ) هو

(S_2 = a_1 - a_2 text <،> ) ومنذ ذلك الحين (a_1 gt a_2 ) لدينا (0 lt S_2 lt S_1 text <.> )

(S_3 = S_2 + a_3 ) وهكذا (S_2 lt S_3 text <.> ) لكن (a_3 lt a_2 text <،> ) لذا (S_3 lt S_1 text <.> ) Thus, (0 lt S_2 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

(S_4 = S_3-a_4) and so (S_4 lt S_3 ext<.>) But (a_4 lt a_3 ext<,>) so (S_2 lt S_4 ext<.>) Thus, (0 lt S_2 lt S_4 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

(S_5 = S_4+a_5) and so (S_4 lt S_5 ext<.>) But (a_5 lt a_4 ext<,>) so (S_5 lt S_3 ext<.>) Thus, (0 lt S_2 lt S_4 lt S_5 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

This pattern continues as illustrated in Figure 8.4.4 (with (n) odd) so that each partial sum lies between the previous two partial sums.

Note further that the absolute value of the difference between the ((n-1))st partial sum (S_) and the (n)th partial sum (S_n) is

Because the sequence () converges to (0 ext<,>) the distance between successive partial sums becomes as close to zero as we'd like, and thus the sequence of partial sums converges (even though we don't know the exact value to which it converges).

The preceding discussion has demonstrated the truth of the Alternating Series Test.

The Alternating Series Test.

Given an alternating series (sum (-1)^k a_k ext<,>) if the sequence () of positive terms decreases to 0 as (k o infty ext<,>) then the alternating series converges.

Note that if the limit of the sequence () is not 0, then the alternating series diverges.

Activity 8.4.3 .

Which series converge and which diverge? برر إجاباتك.

Subsection 8.4.2 Estimating Alternating Sums

If the series converges, the argument for the Alternating Series Test also provides us with a method to determine how close the (n)th partial sum (S_n) is to the actual sum of the series. To see how this works, let (S) be the sum of a convergent alternating series, so

Recall that the sequence of partial sums oscillates around the sum (S) so that

Therefore, the value of the term (a_) provides an error estimate for how well the partial sum (S_n) approximates the actual sum (S ext<.>) We summarize this fact in the statement of the Alternating Series Estimation Theorem.

Alternating Series Estimation Theorem.

If the alternating series (sum_^ (-1)^a_k) has positive terms (a_k) that decrease to zero as (k o infty ext<,>) and (S_n = sum_^ (-1)^a_k) is the (n)th partial sum of the alternating series, then

Example 8.4.5 .

Determine how well the (100)th partial sum (S_<100>) of

approximates the sum of the series.

If we let (S) be the sum of the series (sum_^ frac<(-1)^> ext<,>) then we know that

so the 100th partial sum is within 0.0099 of the sum of the series. We have discussed the fact (and will later verify) that

and so (S approx 0.693147) while

We see that the actual difference between (S) and (S_<100>) is approximately (0.0049750013 ext<,>) which is indeed less than (0.0099 ext<.>)

Activity 8.4.4 .

Determine the number of terms it takes to approximate the sum of the convergent alternating series

Subsection 8.4.3 Absolute and Conditional Convergence

whose terms are neither all nonnegative nor alternating is different from any series that we have considered so far. The behavior of such a series can be rather complicated, but there is an important connection between a series with some negative terms and series with all positive terms.

Activity 8.4.5 .

must have a sum that is less than the series

must have a sum that is greater than the series

Given that the terms in the series

converge to 0, what do you think the previous two results tell us about the convergence status of this series?

As the example in Activity 8.4.5 suggests, if a series (sum a_k) has some negative terms but (sum |a_k|) converges, then the original series, (sum a_k ext<,>) must also converge. That is, if (sum | a_k |) converges, then so must (sum a_k ext<.>)

As we just observed, this is the case for the series (8.4.2), because the corresponding series of the absolute values of its terms is the convergent (p)-series (sum frac<1> ext<.>) But there are series, such as the alternating harmonic series (sum (-1)^ frac<1> ext<,>) that converge while the corresponding series of absolute values, (sum frac<1> ext<,>) diverges. We distinguish between these behaviors by introducing the following language.

Definition 8.4.6 .

Consider a series (sum a_k ext<.>)

The series (sum a_k) converges absolutely (or is absolutely convergent) provided that (sum | a_k |) converges.

The series (sum a_k) converges conditionally (or is conditionally convergent) provided that (sum | a_k |) diverges and (sum a_k) converges.

In this terminology, the series (8.4.2) converges absolutely while the alternating harmonic series is conditionally convergent.

Activity 8.4.6 .

Consider the series (sum (-1)^k frac نص <.> )

Does this series converge? يشرح.

Does this series converge absolutely? Explain what test you use to determine your answer.

Consider the series (sum (-1)^k frac نص <.> )

Does this series converge? يشرح.

Does this series converge absolutely? Hint: Use the fact that (ln(k) lt sqrt) for large values of (k) and then compare to an appropriate (p)-series.

Conditionally convergent series turn out to be very interesting. If the sequence () decreases to 0, but the series (sum a_k) diverges, the conditionally convergent series (sum (-1)^k a_k) is right on the borderline of being a divergent series. As a result, any conditionally convergent series converges very slowly. Furthermore, some very strange things can happen with conditionally convergent series, as illustrated in some of the exercises.

Subsection 8.4.4 Summary of Tests for Convergence of Series

We have discussed several tests for convergence/divergence of series in our sections and in exercises. We close this section of the text with a summary of all the tests we have encountered, followed by an activity that challenges you to decide which convergence test to apply to several different series.

The geometric series (sum ar^k) with ratio (r) converges for (-1 lt r lt 1) and diverges for (|r| geq 1 ext<.>)

The sum of the convergent geometric series (displaystyle sum_^ ar^k) is (frac<1-r> ext<.>)

If the sequence (a_n) does not converge to 0, then the series (sum a_k) diverges.

This is the first test to apply because the conclusion is simple. However, if (lim_ a_n = 0 ext<,>) no conclusion can be drawn.

Let (f) be a positive, decreasing function on an interval ([c,infty)) and let (a_k = f(k)) for each positive integer (k geq c ext<.>)

If (int_c^ f(t) dt) converges, then (sum a_k) converges.

If (int_c^ f(t) dt) diverges, then (sum a_k) diverges.

Use this test when (f(x)) is easy to integrate.

Let (0 leq a_k leq b_k) for each positive integer (k ext<.>)

If (sum b_k) converges, then (sum a_k) converges.

If (sum a_k) diverges, then (sum b_k) diverges.

Use this test when you have a series with known behavior that you can compare to — this test can be difficult to apply.

Let (a_n) and (b_n) be sequences of positive terms. إذا

for some positive finite number (L ext<,>) then the two series (sum a_k) and (sum b_k) either both converge or both diverge.

Easier to apply in general than the comparison test, but you must have a series with known behavior to compare. Useful to apply to series of rational functions.

Let (a_k eq 0) for each (k) and suppose

If (r lt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) converges absolutely.

If (r gt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) diverges.

If (r=1 ext<,>) then test is inconclusive.

This test is useful when a series involves factorials and powers.

Let (a_k geq 0) for each (k) and suppose

If (r lt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) converges.

If (r gt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) diverges.

If (r=1 ext<,>) then test is inconclusive.

In general, the Ratio Test can usually be used in place of the Root Test. However, the Root Test can be quick to use when (a_k) involves (k)th powers.

If (a_n) is a positive, decreasing sequence so that (displaystyle lim_ a_n = 0 ext<,>) then the alternating series (sum (-1)^ a_k) converges.

This test applies only to alternating series — we assume that the terms (a_n) are all positive and that the sequence () is decreasing.

Let (S_n = displaystyle sum_^n (-1)^ a_k) be the (n)th partial sum of the alternating series (displaystyle sum_^ (-1)^ a_k ext<.>) Assume (a_n gt 0) for each positive integer (n ext<,>) the sequence (a_n) decreases to 0 and (displaystyle lim_ S_n = S ext<.>) Then it follows that (|S - S_n| lt a_ نص <.> )

This bound can be used to determine the accuracy of the partial sum (S_n) as an approximation of the sum of a convergent alternating series.

Activity 8.4.7 .

For (a)-(j), use appropriate tests to determine the convergence or divergence of the following series. Throughout, if a series is a convergent geometric series, find its sum.


Exercises 9.4

Terms and Concepts

Suppose ∑ n = 0 ∞ a n is convergent, and there are sequences < b n >and < c n >such that 0 ≤ b n ≤ a n ≤ c n for all n . What can be said about the series ∑ n = 0 ∞ b n and ∑ n = 0 ∞ c n ?

Suppose ∑ n = 0 ∞ a n is divergent, and there are sequences < b n >and < c n >such that 0 ≤ b n ≤ a n ≤ c n for all n . What can be said about the series ∑ n = 0 ∞ b n and ∑ n = 0 ∞ c n ?

مشاكل

In Exercises 3– 8 , use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series state what series is used for comparison.


8.4: Convergence Tests - Comparison Test

It is very easy to see that a simple improper integral may be very hard to decide whether it is convergent or divergent. For example, the improper integral

is hard to study since it is very difficult to find an antiderivative of the function . The tests of convergence are very useful tools in handling such improper integrals. Unfortunately some improper integrals fails to fall under the scope of these tests but we will not deal with them here.

Recall the p-Test: Regardless of the value of the number p , the improper integral

is always divergent. Moreover, we have is convergent if and only if p <1 is convergent if and only if p >1

Note that one may generalize this test to include the following improper integrals

The conclusion is similar to the above one. Indeed we have is convergent if and only if p <1 is convergent if and only if p <1

Comparison Test Let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined on [ a , b ] such that

for any . Then we have If is convergent, then is convergent. If is divergent, then is divergent.

Example. Decide on the convergence or divergence of

The p-Test implies that the improper integral is convergent. Hence the Comparison test implies that the improper integral

We should appreciate the beauty of these tests. Without them it would have been almost impossible to decide on the convergence of this integral.

Before we get into the limit test, we need to recall the following:
we will say and write when if and only if

Limit test Let f ( x ) and g ( x ) be two positive functions defined on [ a , b ]. Assume that both functions exhibit an improper behavior at a and when , then we have
is convergent if and only if is convergent.

This statement is still valid whether a is a finite number or infinite or if the improper behavior is at b .

Example. Establish the convergence or divergence of

Answer. Clearly this integral is improper since the domain is unbounded (Type II). Moreover since the function is unbounded at 0, then we also have an improper behavior at 0. First we must split the integral and write

First let us take care of the integral . حيث

when , and (because of the p-test) the integral

is convergent, we deduce from the limit test that

is convergent. Next we investigate the integral . حيث

when , and (because of the p-test) the integral

is convergent, we deduce from the limit test that

is convergent. Therefore, the improper integral

Remark. One may notice that in the above example, we only used the limit test combined with the p-test. But we should keep in mind that it is not the case in general. The next example shows how the use of other tests is more than useful.

Example. Establish the convergence or divergence of

Answer. Again it is easy to see that we have an improper behavior at both 0 and . Hence we must split the integral and write

The integral is easy to take care of since we have

and because is convergent (by the p-test), the basic comparison test implies that

is convergent. Next we take care of the integral . Here we use the limit test. Indeed, since when , then we have

Because is divergent (by the p-test), then the limit test implies that the integral

is divergent. Conclusion the improper integral

Remark. One may argue that the above example is in fact not a good one to illustrate the use of different tests. Since if we have showed first that the integral

is divergent via the limit test, then we do not need to take care of the other integral and conclude to the divergence of the given integral. A very good point. Now consider the improper integral

and show that in this case the integral is convergent. Let us point out that the trigonometric functions are very bad when it comes to look at what is happening at . Hence the limit test is absolutely not appropriate to use.

Example. Establish the convergence or divergence of

Answer. This is clearly not an improper integral of Type II. Let us check if it is of Type I. First notice that . Hence the function is unbounded at x =1 and x =3 (you must check it by taking the limit.. left as an exercise). Since 3 is between 2 and 4, we deduce that the integral is improper and the only bad point is 3. Hence we must split the integral to get

Let us take care of the integral . It is easy to see that when , then we have

The p-test implies that the integral

is convergent. Hence by the limit test we conclude that the integral

is convergent. Using the same arguments, we can show that the integral

is also convergent. Therefore the integral

Note that all the tests so far are valid only for positive functions. One may then wonder what happens to improper integrals involving non positive functions. A partial answer is given by the Absolute Convergence tests.


Limit Comparison Test

Theorem. Suppose that $a_n>0$ and $b_n>0$ for all $ngeq N$.

$quad (1)$ If $displaystyle lim_ فارك = c>0$, then $sum a_n$ and $sum b_n$ both converge of diverge.

$quad (2)$ If $displaystyle lim_ فارك = 0$ and $sum b_n$ converges, them $sum a_n$ converges.

$quad (3)$ If $displaystyle lim_ فارك = infty$ and $sum b_n$ diverges, then $sum a_n$ diverges.

مثال. Determine if the series $displaystyle sum_^infty frac<1><2sqrt+sqrt[3]>$ converges or diverges.

حل. By the Limit Comparison Test with $ lim_ frac<2sqrt+sqrt[3]>><1/sqrt> = lim_ frac<1><2+n^<-1/6>> =frac<1><2>, $ we see that the series diverges since the $p$-series $sum_^infty frac<1>>$ diverges.

مثال. Determine if the series $displaystyle sum_^ infty فارك<>>$ converges or diverges.

حل. By the Limit Comparison Test with $ lim_ frac<>>>>> = lim_ فارك = 1, $ we see that the series converges since the $p$-series $sum_^infty frac<1>>$ converges.

مثال. Determine if the series $displaystyle sum_^infty frac<1><(ln n)^2>$ converges or diverges.

حل. By the Limit Comparison Test with $ lim_ frac<1/(ln n)^2> <1/n>= lim_ فارك <(ln n)^2>= lim_ n =infty, $ we see that the series diverges since the $p$-series $sum_^infty frac<1>$ diverges.

مثال. Determine if the series $displaystyle sum_^infty frac$ converges or diverges.

حل. Recall that the series $sum_^infty frac<1>$ diverges but that the series $sum_^infty frac<1>$ converges. However the Limit Comparison test with these two series, is inconclusive. Consider instead the series $sum_^infty frac<1>>$. We find that $ lim_ frac<1/n^<3/2>> = lim_ frac> =0 $ Therefore, by the Limit Comparison Test the given series converges.


I must use the limit comparison test to solve this problem-not allowed to use other tests.

I know that the series converges, because the integral test shows that the the integral does converge to a specific value. This proves that Ʃ(n from 1 to infinity) ln(n)/n^3 converges. However, I have to solve this problem with the limit comparison test.

Now my best results so far is that the rate of increase of the natural log function is slower than the rate of increase of any power function with the exponent greater than 0, so I believe that the series ln(n)/n^3 mimics the series 1/n^3. This series, 1/n^3, is the p-series whose convergence can easily be determined by looking at the exponent. If n>1, the series converges. If n≤1, the series diverges.

The same principle applies to the series ln(n)/n^k: It appears that the series converges whenever k>1 and diverges when k≤1. But how can the limit comparison test be employed? There just seems to be no suitable function to compare ln(n)/n^3 with. Please help?

You have kind of the right idea so far. I don't agree though that ##frac<1>## behaves like ##a_n = frac## accurately enough to determine convergence.

Notice that ##ln(n) < n## for all ##n>0##. So that ##frac < frac = فارك <1> = b_n##.

##b _n## clearly converges by p-series and it behaves enough like ##a_n## that you can use the limit comparison test.


Instead of comparing to a convergent series using an inequality, it is more flexible to compare to a convergent series using behavior of the terms in the limit.

Alternating series arises naturally in many common situations, including evaluations of Taylor series at negative arguments. They furnish simple examples of conditionally convergent series as well. There is a special test for alternating series that detects conditional convergence:

One interesting fact about the alternating series test is that it gives an effective error bound as well:

The alternating series test is actually a special case of the Dirichlet test for convergence, presented in the next section.


8.4: Convergence Tests - Comparison Test

The main tools for computing the radius of convergence are the Ratio Test و ال Root Test . To see why these tests are nice, let's look at the Ratio Test. Consider $displaystylesum_^infty c_nx^n$, and let $limleft|frac<>> ight|=L$. The Ratio Text will look at $displaystylelim_left|frac<>x^> ight|=lim_left|frac<>> ight||x|=L|x|,$and by the Ratio Test the series converges absolutely for $L|x|<1$, i.e. for $|x|<frac<1>$. So the radius of convergence is $frac<1>$ and the interval of convergence is from $-frac<1>$ to $frac<1>$. The same logic holds for the Root Test. The endpoints of the interval of convergence must be checked separately, as the Root and Ratio Tests are inconclusive there (when $x=pmfrac<1>$, the limit is 1). To check convergence at the endpoints, we put each endpoint in for $x$, giving us a normal series (no longer a power series) to consider. All the tests we have been learning for convergence can be used to test for convergence at the endpoints: the Divervence Test, $p$-series, Alternating Series Test, Comparison Test, Limit Comparison Test, and/or the Integral Test.

In the video, he uses $a_n$ instead of $c_n$ for the power series coefficients to explain the paragraph above. However, you do not need to memorize that $R=frac<1>$, for example -- just use the Ratio or Root Test and follow it to its conclusion.


DO: work the following without looking at the solutions, which are below the examples.

مثال 1: Find the radius of converge, then the interval of convergence, for $displaystylesum_^infty(-1)^nfrac<2^n>$.


Example 2: Find the radius of converge, then the interval of convergence, for $displaystylesum_^infty(-1)^nfrac$.

$displaystylesqrt[n]<2^n> ight|>=sqrt[n]frac<|x|><2>longrightarrowfrac<1><2>vert xvertquad$ (We used our very handy previous result: $sqrt[n] ightarrow 1$ for any $a>0$.)

By the Root Test, our series converges when $frac<1><2>vert xvert<1$, i.e. when $|x|<2$, so $R=2$. Now we check the endpoints of the interval from $-2$ to $2$.

When $x=2$, we have $displaystylesum_^infty(-1)^nfrac<2^n>=displaystylesum_^infty(-1)^nfrac<2^n>=displaystylesum_^infty(-1)^n n^2$ which also diverges by the Divergence Test.

$R=2$ and our interval of convergence is $(-2,2)$.

By the Ratio Test, our series converges when $|x|<1$, so $R=1$. We test at our endpoints of the interval from $-1$ to $1$:
When $x=-1$, we have $displaystylesum_^infty(-1)^nfrac=displaystylesum_^infty(-1)^nfrac<(-1)^n>=displaystylesum_^inftyfrac<1>$ which is the divergent harmonic series.

When $x=1$, we have $displaystylesum_^infty(-1)^nfrac=displaystylesum_^infty(-1)^nfrac<1^n>displaystylesum_^inftyfrac<(-1)^n>$ which is the convergent alternating harmonic series (use the AST if you are uncertain).


Efficacy comparison of three rapid antigen tests for SARS-CoV-2 and how viral load impact their performance

More and more rapid antigen tests for the diagnosis of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 (SARS-CoV-2) appear in the market with varying performance. The sensitivity of these tests heavily depends on the viral load, extrapolated by the threshold cycle (Ct). It is therefore essential to verify their performance before their inclusion in routine. The Coronavirus Ag Rapid Test Cassette Bio-Rad, the GSD NovaGen SARS-CoV-2 (COVID-19) Antigen Rapid Test, and the Aegle Coronavirus Ag Rapid Test Cassette were evaluated on 199 samples: 150 fresh samples from the routine and positive in quantitative reverse-transcription polymerase chain reaction (RT-qPCR), nine fresh samples negative in RT-qPCR, and 40 frozen samples, taken before the discovery of SARS-CoV-2 but positive for other respiratory viruses. Positive RT-qPCR samples were categorized according to their Ct: Ct < 20 (18.7%), ≥ 20-< 25 (27.3%), ≥ 25-< 30 (18.7%), ≥ 30-35 (17.3%), and > 35 (18.0%). Sensitivities (95% confidence interval) for Ct below 25 were 95.7% (92.4-98.9), 97.1% (94.4-99.8), and 97.1% (94.4-99.8) for GSD NovaGen, Bio-Rad, and Aegle, respectively but drastically dropped when Ct exceeded 27. Among samples with previously diagnosed viruses, seven false-positive results were found with GSD NovaGen only (specificity 85.7%). Equivalent, high sensitivities were observed with the highest viral load samples. The GSD NovaGen assay showed less specificity. Although the three kits tested in this study are inadequate for routine testing in a high throughput laboratory, they can help to quickly identify the most infectious patients and screen their close contacts in an environment where molecular tests are not readily available.

الكلمات الدالة: COVID-19 SARS-CoV-2 point-of-care testing rapid antigen test.

© 2021 Wiley Periodicals LLC.

Conflict of interest statement

The authors have no relevant competing interest to disclose in relation to this study.


شاهد الفيديو: تحليل حقيقي. إختبارات التقارب والتباعد للمتسلسلات. الجزء الثاني (ديسمبر 2021).