مقالات

4: قانون الجيب وقانون جيب التمام


في السابق ، استخدمنا العلاقات المثلثية الأساسية في المثلثات القائمة للعثور على مسافات وزوايا غير معروفة. لذلك ، من علاقات المثلث القائم ، يمكننا اشتقاق العلاقات التي يمكن استخدامها في أي مثلث.

  • 4.1: قانون الجيوب
    يعتمد قانون الجيب على علاقات المثلث القائم الزاوية التي يمكن إنشاؤها بارتفاع المثلث.
  • 4.2: قانون الجيوب - الحالة الغامضة
    تظهر الإجابات المتعددة عندما نستخدم الدوال المثلثية العكسية. بالنسبة للمسائل التي نستخدم فيها قانون الجيب بزاوية واحدة وضلعان ، قد يكون هناك مثلث واحد محتمل أو مثلثين محتملين أو لا يوجد مثلثات محتملة. هناك ستة سيناريوهات مختلفة تتعلق بالحالة الغامضة لقانون الجيب: ثلاثة ينتج عنها مثلث واحد ، ينتج واحد عن مثلثين وينتج اثنان في عدم وجود مثلث.
  • 4.3: قانون جيب التمام
  • 4.4: التطبيقات

الصورة المصغرة: قانون جيب التمام بزوايا حادة. (CC BY SA 3.0 Unported؛ Scaler عبر Wikipedia)


1463 متى يجب استخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام

لسنوات ، قمت بتدريس طلابي قانون الجيب وقانون جيب التمام باستخدام آلة حاسبة علمية محمولة فقط. لسوء الحظ ، لا يستطيع الكثير منهم الوصول إلى واحدة أثناء الوباء. لقد وجدت بعض قوانين الجيب وقانون حاسبات جيب التمام على الإنترنت ، لكنني شعرت أنهم جميعًا بدوا وكأنهم يجدون حلولًا عن طريق السحر ، دون الحاجة إلى أي فهم. أريد أن يفهم طلابي متى يستخدمون قانون الجيب ومتى يستخدمون قانون جيب التمام.

متى يجب علي استخدام قانون الجيب؟

استخدم قانون الجيب عندما تحصل على هذه المعلومات الثلاثة حول المثلث: Angle-Angle-Side أو Angle-Side-Angle أو Angle-Side-Side. إليكم رسمًا بيانيًا يوضح كل حالة وكيف يتم تحويل قانون الجيب للحصول على الزاوية أو الجانب المفقود:

لقد استخدمت Desmos لإنشاء آلة حاسبة لقانون الجيب تستخدم المعادلات أعلاه المشتقة من قانون الجيب. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. لا تزال حاسبة قانون الجيب هذه تجبرك على التفكير في المعلومات التي يتم تقديمها والمعادلة التي يجب عليك استخدامها. في مشكلتك ، ستكون هناك زاوية معروفة وضلع معروف مقابل بعضهما البعض. قم بتسمية هذه القيم المعروفة A و a ، على التوالي. إذا كانت لديك زاوية أخرى ، فسمها ب. إذا كان لديك جانب آخر ، فقم بتسميته ب. ابحث عن المعادلة المناسبة في الآلة الحاسبة ، واستبدل المتغيرات بقيمها ، وسيقوم Desmos بحساب الإجابة. إذا أعطيت Angle-Side-Side ، فستحتاج إلى استخدام دالة الجيب العكسي ، وقد يكون لديك حلين. وبالتالي ، إذا كانت الزاوية المعطاة حادة ، فتأكد من استبدال "Bacute" بالزاوية الحادة الموجودة في الصيغة أعلاه بحيث يكون لديك أيضًا الحل الثاني. لا يمكن أن يحتوي المثلث على زاويتين منفرجتين ، لذا لا تعطِ حلين للمثلث إذا كان A منفرجة!

قد يحاول بعض الأشخاص إضافة أشرطة تمرير إلى هذه الآلة الحاسبة لأنهم لن يضطروا بعد ذلك إلى التفكير كثيرًا. ستؤدي إضافة أشرطة التمرير إلى إرباك Desmos مع العديد من المتغيرات ، لذلك قمت أيضًا بوضع قانون الجيب باستخدام أشرطة التمرير. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. في مشكلتك ، ستكون هناك زاوية معروفة وضلع معروف مقابل بعضهما البعض. قم بتسمية هذه القيم المعروفة A و a ، على التوالي. إذا كانت لديك زاوية أخرى ، فسمها ب. إذا كان لديك جانب آخر ، فقم بتسميته ب. بدلاً من كتابة القيم في المعادلة ، يمكنك كتابة القيم على هيئة منزلقات. يتم تعيين الإعداد الافتراضي لجميع أشرطة التمرير على 0 ، لذلك إذا كان أي من الحلول الخاصة بك هو 0 أو غير محدد ، فأنت إما تبحث في المكان الخطأ لإجابتك أو أنك لم تدخل معلومات كافية. إذا كنت تستخدم هذه الآلة الحاسبة ، فستحتاج إلى تحديثها وإعادة تحميلها بعد كل مشكلة.

متى يجب علي استخدام قانون جيب التمام؟

قانون جيب التمام سهل بما يكفي لكتابة: c² = a² + b² - 2ab cos C. يبدو مشابهًا إلى حد ما لنظرية فيثاغورس ، وعندما تكون C تساوي 90º ، فهذا بالضبط ما هو عليه.

استخدم قانون جيب التمام عندما تحصل على هذه المعلومات الثلاثة حول المثلث: جانب - جانب - جانب - جانب - جانب - جانب. هذا رسم رسمته يظهر كلتا الحالتين:

نظرًا لأن قانون جيب التمام يتطلب إدخال كل من a و b مرتين ، فقد قررت المضي قدمًا واستخدام أشرطة التمرير في حاسبة قانون جيب التمام لجعل الكتابة أسهل قليلاً. سيتم إدخال الزوايا وإعطائها بالدرجات وليس بالتقدير الدائري. إذا تم إعطاؤك Side-Angle-Side ، فدع الزاوية تكون C. إذا تم إعطاؤك Side-Side-Side ، فقم بتسمية الجانب المقابل للزاوية التي تبحث عنها ، c. لا يهم الجانب الذي تسميه أ أو ب ، ولكن هذا الجانب المقابل يجب أن يكون ج. ستحتاج إلى استخدام دالة جيب التمام المعكوسة ، لكن لديّ ذلك بالفعل في الآلة الحاسبة. ستحتاج إلى التحديث وإعادة التحميل قبل بدء مشكلة جديدة.

نظرًا لأن هذا هو المنشور رقم 1463 ، فسوف أكتب قليلاً عن هذا الرقم.

عوامل 1463:

نظرًا لأن كلا من 14 و 63 من مضاعفات 7 ، يمكننا التأكد من أن 1463 يقبل القسمة على 7.

  • 1463 رقم مركب.
  • التحليل الأولي: 1463 = 7 × 11 × 19
  • لا يحتوي 1463 على أسس أكبر من 1 في التحليل الأولي ، لذلك لا يمكن تبسيط 1463.
  • الأسس في التحليل الأولي هي 1 و 1 و 1. بإضافة واحد إلى كل أس وضربنا نحصل على (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8. لذلك فإن 1463 لديها 8 عوامل بالضبط.
  • تم تحديد عوامل عام 1463 مع شركائهم في زوج العامل في الرسم أدناه.

نظرًا لأن أزواج عوامل 1463 الأربعة تحتوي على أرقام فردية فقط ، فيمكن كتابة 1463 كفرق بين مربعين بناءً على هذه الطرق الأربع:

732² - 731² = 1463 (732 هو متوسط ​​1 و 1463 ، و 731 أقل بواحد.)
108² - 101² = 1463 (108 هو متوسط ​​7 و 209 ، و 101 أقل بسبع).
72² - 61² = 1463 (72 هو متوسط ​​11 و 133 ، و 61 أقل بأحد عشر).
48² - 29² = 1463 (48 هو متوسط ​​19 و 77 ، و 29 أقل ب 19).


قانون جيب التمام

يستخدم قانون جيب التمام أيضًا في حالة عدم وجود مثلث قائم الزاوية والمشكلة هي إيجاد الزاوية أو الضلع. إنه يختلف مع قانون الجيب. يمكن استخدام قانون جيب التمام إذا كان معروفًا:

في الرياضيات ، إذا كان هناك أي مثلث ، إذن

أ 2 = ب 2 + ج 2 - 2.a.b.cos α

ب 2 = أ 2 + ج 2 - 2.a.c.cos β

ج 2 = أ 2 + ب 2 - 2.a.b.cos

(اختر واحدة من المعادلات تعتمد على المشكلة)

ملاحظة:

تذكر أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. لذلك ، إذا كان هناك زاويتان معروفتان ، فإن الزاويتين الثالثة تكون معروفة أيضًا.


قضية قانون الجيب الغامضة (SSA)

عندما يكون لدينا حالة الزاوية الجانبية (على التوالي) (SSA)، كان باستطاعتنا ان واحد, اثنين، أو رقم تشكلت المثلثات ، وعلينا القيام بعمل إضافي لتحديد الموقف الذي لدينا.

في هذه الحالات ، أرغب دائمًا في رسم المثلث بامتداد زاوية معروفة في أسفل اليسار (حتى لو كانت هذه الزاوية ب أو ج ) ، حتى أتمكن من رؤية ما يحدث. إذا كان الضلع المقابل مباشرة لهذه الزاوية ( يقترن الجانب) هو أقل من الجانب الذي يلامس هذه الزاوية ، من المحتمل أن يكون لدينا حالة غامضة (أو قد لا يكون لدينا مثلث يمكن تشكيله).

في هذه الحالة ، إذا حصلنا على رسالة خطأ في الآلة الحاسبة عند محاولة الحصول على الزاوية الأخرى باستخدام قانون الجيوب، أو ، في حالة وجود مثلث منفرج الزاوية، نحصل على أكثر من 180° بالنسبة للمثلث ، هناك لا يوجد مثلث يمكن تشكيلها من الأرقام المعطاة (وهذا هو الجواب).

للمثلثات الحادة ، إذا حصلنا على إجابة بخلاف 90° ، سيكون لدينا مثلثين التي يمكن تشكيلها ، والزاوية الثانية هي 180 مطروحًا منه الزاوية التي حصلنا عليها للتو (أحدهما حاد والآخر منفرج). يمكننا بعد ذلك إيجاد مثلثين مختلفين (الضلعان المعطىان والزاوية الأولى للمثلثين سيكونان متماثلين). إذا حصلنا عليه 90° للزاوية الثانية ، لدينا مثلث قائم الزاوية. يحدث هذا عندما يكون ملف ارتفاع المثلث يساوي الضلع المزدوج (الضلع المقابل للزاوية المعروفة).

إلى عن على مثلثات منفرجة، سيكون لدينا إما مثلث واحد (عندما (أ> ب )) أو لا يوجد مثلث (عندما (أ لو ب )).

إلى عن على مثلثات حادة:

إذا (a ge b ) ، فنحن على ما يرام: مثلث واحد! تابع كما فعلنا أعلاه مع قانون الجيوب : (displaystyle frac << sin A >> = frac << sin B >>= فارك << الخطيئة ج >>).

إذا كان (a & ltb ) ، لدينا حالة غامضة إما لدينا مثلثين (إذا (أ> ) ارتفاع (ح ) المثلث) ، مثلث واحد (إذا (أ = ح )) ، أو لا يوجد مثلث (إذا (a & lth )). (لاحظ أنه إذا لم يكن هناك مثلث ، فسنحصل على خطأ في الآلة الحاسبة عند محاولة إيجاد الزاوية (B ).)

(لاحظ أنه يمكننا الحصول على الارتفاع باستخدام مثلث قائم الزاوية: الارتفاع هو (ح = ب الخطيئة أ ) منذ (displaystyle sin A = frac). لا يتعين عليك عادةً الحصول على الارتفاع ، إلا إذا طُلب منك أن تحصل الآلة الحاسبة على زاوية غير 90 درجة بدون خطأ اذا كان هناك مثلثين.) إذا (أ = ح ) ، لدينا مثلث قائم الزاوية ، حيث الزاوية (ب = 90 درجة ).

إذا كان (أ> ح ) ، يمكننا تشكيل مثلثين مع الجانب (ب ): واحد مع الجانبين (أ ) (إلى اليمين أعلاه) و (<_ <1>> ) والآخر بجوانب (أ ) (إلى اليسار أعلاه) و (<_ <2>> ). ثم الزوايا (<_ <1>> ) و (<_ <1>> ) سوف يرتبط بـ (a ) و (<_ <1>> ) ، والزوايا (<_ <2>> ) و (<_ <2>> ) سوف يرتبط بـ (a ) و (<_ <2>> ) ، ونستخدم الصيغ أدناه. للحصول على (<_ <2>> ) ، نحن ببساطة نطرح (<_ <1>> ) من 180° : (<_<2>>=180-<_<1>>).

دعنا أولاً نرسم المثلث (الذي من الواضح أنه لا يتم قياسه):

نظرًا لأن هذا ملف مثلث منفرج الزاوية، ومنذ (20 & lt25 ) ، لن يكون لدينا مثلث. لكن دعونا نرى ما يحدث عند استخدام قانون الجيب:

حل أولًا من أجل الزاوية ب (الضرب المتبادل والاستخدام 2 الثانية رقم الخطيئة) ، للحصول على (B = 73.2 <> ^ circ ). ثم يمكننا الحصول عليها أ : (180- يسار (<130 + 73.2> يمين) = - 23.2 <> ^ circ ).

آها! لا يمكن أن يكون لدينا زاوية سالبة! لا يوجد مثلث!

ملحوظة: إذا كان الجانب ( (ج )) المقابل للزاوية ج كانت 20 ، على سبيل المثال (أقل من (ب ) ، وهو 25 ) ، سيكون لدينا مثلث واحد ويمكننا حل الطريقة العادية باستخدام قانون الجيب.

لنرسم المثلث أولاً:

منذ (14 & lt20 ) ، لدينا حالة غامضة إما لدينا مثلثين (إذا (14> ) ارتفاع (ح ) المثلث) ، مثلث واحد (إذا (14 = ح)) ، أو لا يوجد مثلث (إذا (14 & lth )).

دعونا نحل للزاوية ج لمعرفة ما إذا كنا سنحصل على رسالة خطأ أم لا عندما نتلقى (<< sin> ^ <<-1> >> ):

اضرب عبر لتحصل على ج (استخدام 2 الثانية رقم الخطيئة) للحصول على (C = 66.7 <> ^ circ ). بما أننا لم نحصل على خطأ أو قياس زاوية 90° ، لدينا مثلثين، أحدهما بـ (C = 66.7 ° ) والآخر بـ (C = 180 ° –66.7 ° = 113.3 ° ).

الآن يمكننا الحصول على الزاوية أ ، وحل الضلع أ في كلتا الحالتين. لاحظ كيف أن القيم الأصلية ( ب , ب، و ج ) تبقى كما هي في كلتا الحالتين:

دعنا أولاً نرسم المثلث الذي سينتهي به الأمر في شكل شيء مثل هذا:

منذ (a & ltb ) ، لدينا حالة غامضة إما لدينا مثلثين (إذا (أ> ) ارتفاع (ح ) المثلث) ، مثلث واحد (إذا (أ = ح )) ، أو لا يوجد مثلث (إذا (a & lth )).

دعونا نحاول إيجاد الزاوية ب ونرى أننا نحصل على رسالة خطأ عندما نستخدم (<< sin> ^ <<-1> >> ) (نحصل على ( sin left (B right) ) أكبر من 1 ):

ملحوظة: يمكننا أيضًا حل مثلثات الحالة الغامضة باستخدام قانون جيب التمام وحاسبة الرسوم البيانية هنا).

من أجل أن يكون هناك مثلثين ، أ يجب أن يكون أقل من 10 ، ولكن أكبر من ارتفاع المثلث ، وهو (10 ​​ sin 40 <> ^ circ ) ، أو 6.427 .


إعادة النظر

لكل مثلث أدناه ، حدد قيم (أ ) و (ب ) و (ج ).


  1. الشكل ( PageIndex <7> )

  2. الشكل ( PageIndex <8> )

  3. الشكل ( PageIndex <9> )

  4. الشكل ( PageIndex <10> )

  5. الشكل ( PageIndex <11> )

  6. الشكل ( PageIndex <12> )

  7. الشكل ( PageIndex <13> )

الآن ، لكل مثلث ، أوجد الضلع المفقود باستخدام قانون جيب التمام.


  1. الشكل ( PageIndex <14> )

  2. الشكل ( PageIndex <15> )

  3. الشكل ( PageIndex <16> )

  4. الشكل ( PageIndex <17> )

  5. الشكل ( PageIndex <18> )

  6. الشكل ( PageIndex <19> )

  7. الشكل ( PageIndex <20> )
  8. أثبت أن قانون جيب التمام يعادل نظرية فيثاغورس لجميع المثلثات القائمة.

قوانين الجيب والجيب

يكفي لإظهار المعادلة الأخيرة منذ الإصدار الأول يختلف فقط في تسمية المثلث.

من السهل إلى حد ما اتباع تفسير لقانون الجيب ، ولكن في بعض الحالات يتعين علينا & rsquoll أن ننظر في جيوب الزوايا المنفرجة.

أولاً ، قم بإسقاط خط عمودي ميلادي من أ وصولا إلى القاعدة قبل الميلاد للمثلث. القدم د من هذا عمودي سوف تقع على الحافة قبل الميلاد للمثلث عند كلتا الزاويتين ب و ج حادة. ولكن إذا كانت الزاوية ب هو منفرج ، ثم القدم د سوف تكذب عليها قبل الميلاد تمتد في اتجاه ب. بعد إذا كانت الزاوية ج منفرجة إذن د سوف تصطف على قبل الميلاد تمتد في اتجاه ج. لحسن الحظ ، الحجة هي نفسها في جميع الحالات الثلاث.

يترك ح تدل على طول هذا الخط ميلادي، أي ارتفاع (أو ارتفاع) المثلث.

عندما الزاوية ب هو حاد ، ثم الخطيئة ب = ح / ج. لكن هذا صحيح حتى عندما ب هي زاوية منفرجة كما في الشكل الثالث. هناك زاوية ABC منفرجة. لكن جيب الزاوية المنفرجة هو نفس جيب ملحقها. هذا يعني الخطيئة ABC هو نفس الخطيئة ABD ، أي كلاهما متساويان ح / ج.

وبالمثل ، لا يهم ما إذا كانت الزاوية ج حاد أو منفرج ، خطيئة ج = ح / ب في أي حال.

تخبرنا هاتان المعادلتان بذلك ح يساوي كليهما ج الخطيئة ب و ب الخطيئة ج. لكن من المعادلة ج الخطيئة ب = ب الخطيئة ج ، يمكننا بسهولة الحصول على قانون الجيب:

قانون جيب التمام

هناك نسختان أخريان من قانون جيب التمام ،

أ 2 = ب 2 + ج 2 – 2قبل الميلاد كوس أ و ب 2 = أ 2 + ج 2 – 2أ كوس ب.

من أجل معرفة سبب صلاحية هذه القوانين ، يتعين علينا & rsquoll النظر في ثلاث حالات. بالنسبة للحالة 1 ، نحن & rsquoll نأخذ الزاوية ج أن تكون بليد. في الحالة 2 ، الزاوية ج ستكون الزاوية الصحيحة. في الحالة 3 ، الزاوية ج ستكون حادة.

يمكننا اشتقاق المعادلات التالية من الشكل:

ج 2 = د 2 + ح 2
ب 2 = ه 2 + ح 2
د = أ + ه
كوس ج = & - ه / ب

هذه المعادلات والجبر البسيط تنهي الحجة على النحو التالي:

ج 2 = د 2 + ح 2
= (أ + ه) 2 + ح 2
= أ 2 + 2ae + ه 2 + ح 2
= أ 2 + ب 2 + 2ae
= أ 2 + ب 2 و - 2أب كوس ج

وبالتالي ، فإن قانون جيب التمام يكون صالحًا عندما ج هي زاوية منفرجة.

الحالة 2. الآن ضع في اعتبارك الحالة عندما تكون الزاوية عند ج صحيح. جيب تمام الزاوية القائمة هو 0 ، لذا فإن قانون جيب التمام ، ج 2 = أ 2 + ب 2 – 2أب كوس ج ، يبسط ليصبح هوية فيثاغورس ، ج 2 = أ 2 + ب 2 ، للمثلثات القائمة التي نعلم أنها صالحة.

الحالة 3. في هذه الحالة نفترض أن الزاوية ج مثلث حاد. أسقط خطًا متعامدًا ميلادي من أ وصولا إلى القاعدة قبل الميلاد للمثلث. القدم د من الإرادة العمودية (1) تقع على الحافة قبل الميلاد إذا كانت الزاوية ب حاد ، (2) يتطابق مع النقطة ب إذا كانت الزاوية ب على حق ، أو (3) الاستلقاء على الجانب قبل الميلاد ممتد إذا كانت الزاوية ب منفرجة.

يترك ح تشير إلى ارتفاع المثلث ، دعونا د دل BD ، و ه دل قرص مضغوط.

ثم يمكننا قراءة العلاقات التالية من الرسم التخطيطي:

ج 2 = د 2 + ح 2
ب 2 = ه 2 + ح 2
كوس ج = ه / ب
د 2 = (هأ) 2

تتطلب المعادلة الأخيرة تفسيرًا. إذا كانت النقطة د تقع على الجانب قبل الميلاد، من ثم د = أ & - ه ، لكن اذا د تقع على قبل الميلاد ممتد ، إذن د = ه & - أ. في كلتا الحالتين، د 2 = (ه & - أ) 2 .

هذه المعادلات والقليل من الجبر تنهي البرهان على النحو التالي:

ج 2 = د 2 + ح 2
= د 2 و - ه 2 + ب 2
= (د & - ه) (د + ه) + ب 2
= (أ & - 2ه) أ + ب 2
= أ 2 + ب 2 و - 2ae
= أ 2 + ب 2 و - 2أب كوس ج

وهكذا ، نعلم الآن أن قانون جيب التمام يكون صالحًا عند كلتا الزاوية ج حاد ، وقد أنهينا جميع الحالات الثلاث.

بالمناسبة ، أدرج إقليدس في كتابه عناصر زوجان من الافتراضات ، II.12 و II.13 ، يشبهان إلى حد كبير قانون جيب التمام ، لكنهما في الواقع ليسا قانون جيب التمام ، بالطبع ، لأن علم المثلثات لم يتم تطويره في زمن إقليدس ورسكووس.


مشاكل الكلمات باستخدام قانون الذنوب والأطراف

يريد الباحث تحديد عرض البركة من الشرق إلى الغرب ، وهو ما لا يمكن إجراؤه بالقياس الفعلي. من النقطة P ، وجد أن المسافة إلى أقصى نقطة من الشرق من البركة هي 8 كيلومترات ، بينما المسافة إلى أقصى نقطة في الغرب من P هي 6 كيلومترات. إذا كانت الزاوية بين خطي الرؤية 60 درجة ، فأوجد عرض البركة.

بإيجاد الضلع المفقود ، يمكننا إيجاد عرض البركة.

cos C & # xa0 = & # xa0 (a 2 + b 2 - c 2) / 2ab & # xa0

إذن ، عرض البركة هو & # xa0 2 & # xa0 13 كم.

تحلق مروحيتان تابعتان للبحرية A و B فوق خليج البنغال على نفس الارتفاع من مستوى البحر & # xa0 للبحث عن قارب مفقود. يشاهد طيارو كلتا المروحيتين القارب في نفس الوقت بينما & # xa0 على بعد 10 كيلومترات من بعضهما البعض. إذا كانت مسافة القارب من A هي 6 كم وإذا كان الخط & # xa0 الجزء AB يقابل & # xa0 & # xa060 ° & # xa0 على القارب ، فأوجد مسافة القارب من B.

لإيجاد الضلع المفقود ، علينا استخدام صيغة جيب التمام. & # xa0

نستخدم هنا صيغة cos C لأننا نعرف طول b و c.

إذن ، المسافة من المروحية B إلى القارب هي & # xa0 3 + √73 كم.

نفق مستقيم يجب أن يتم عبر جبل. يراقب المساح طرفي النفق A و & # xa0 B من النفق الذي سيتم بناؤه من النقطة P أمام الجبل. إذا كانت AP = 3km ، BP = 5 km & # xa0 و APB = 120 ◦ ، إذن ابحث عن طول النفق المراد بناؤه

AP = 3 كم = ب ، BP = 5 كم = أ & # xa0 و APB = 120 ◦

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


قانون جيب التمام

في أي مثلث ، يكون مربع أي جانب مساويًا لمجموع مربع الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين وجيب التمام بينهما.

يمكننا كتابة القانون أيضًا بالشكل:
a² = b² + c² & # 8211 2bc⋅cosA
b² = a² + c² & # 8211 2ac⋅cosB

يمكننا استخدام قانون جيب التمام عندما نعرف ضلعين والزاوية بين هذين الضلعين ، لكن يمكننا أيضًا استخدامه لإيجاد الزاوية بين ضلعين عندما نعرف جميع الأضلاع.

أيضًا عندما نريد إيجاد الزوايا:

مثال 2: لدينا أ = 5 سم ، ب = 12 سم ، ج = 60 درجة. أوجد حرف c.

الحل: نظرًا لأن لدينا طولين للزاوية والزاوية بينهما ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد الضلع المفقود.

$ displaystyle <^ <2>> = 25 + 144-120 cdot frac <1> <2> $

المثال 3: يقف جون على تل على مسافة 15 مترًا من المروحية. تراقب السفينة المروحية بزاوية 60 درجة وعلى مسافة 10 أمتار. اكتشف كم يبعد يوحنا عن السفينة؟

المحلول: استنادًا إلى الشكل أعلاه لمعرفة المسافة التي يبعدها John عن السفينة ، يمكننا استخدام ملف قانون جيب التمام:

x² = 15² + 10² & # 8211 2 ⋅ 15 ⋅ 10 cos60 درجة

س² = 225 + 100 & # 8211300 ⋅ $ displaystyle frac <1> <2> $

x $ displaystyle almost 13.2 $

جون هو حوالي 13.2 متر من السفينة


في المثلث ABC ، ​​∠A = 60 درجة. أثبت أن b + c = 2a cos (B - C) / 2

أ = 2R sin A ، b = 2R sin B & # xa0 و c = 2R sin C

& # xa0 = & # xa0 2R [2 sin (180 - A) / 2 cos (B - C) / 2]

في المثلث ABC ، ​​أثبت الآتي

(i) a sin (A / 2 + B) = (b + c) sin A / 2

& # xa0 = & # xa0 (2R sin B + 2R sin C) sin A / 2

& # xa0 = & # xa0 2R (2 sin (B + C) / 2 cos (B - C) / 2) sin A / 2

& # xa0 = & # xa0 2R (2 sin (180 - A) / 2 cos (B - C) / 2) sin A / 2

& # xa0 = & # xa0 2R (2 cos (A / 2) cos (B - C) / 2) sin A / 2

& # xa0 = & # xa0 2R (2 cos (A / 2) & # xa0sin A / 2 cos (B - C) / 2

إيجاد قيمة cos (B - C) / 2:

cos (B - C) / 2 & # xa0 = & # xa0 cos (B - (180 - (A + B))) / 2

تطبيق قيمة cos (B - C) / 2 في (1)

بعد الاطلاع على الأشياء المذكورة أعلاه ، نأمل أن يكون الطلاب قد فهموا ، "أمثلة قانون الجيب وجيب التمام مع الإجابات"

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في "أمثلة قانون الجيب وجيب التمام مع الإجابات" ، & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، يرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


4: قانون الجيب وقانون جيب التمام

إذا التقى متجهان ، u و v بزاوية & # 952 ، وكان طولا u و v أ و ب ، وطول الضلع الثالث هو c ، فإن قانون جيب التمام ينص على ،

استبدل & # 952 بتعريفها الجبري أعلاه ، مع تذكر أن جيب التمام والجيب القوسي هما دالتان عكسيتان. المقام | u | × | v | هي نفسها ab ، ويتم تبسيط المعادلة إلى هذا الحد.

قم بتوسيع كل الضربات النقطية في المعادلة الأخيرة. الجانبين الأيسر والأيمن متكافئان جبريًا. وبالتالي فإن قانون جيب التمام ، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس ، يكون صالحًا عندما يتم تعريف الزوايا على النحو الوارد أعلاه. دعونا نرى ما إذا كان الأمر نفسه ينطبق في هندسة المستوى.

إذا أخذنا مثلثًا أطوال أطواله أ ، ب ، ج ، فقم بإسقاط عمودي من القمة ، وقسم b إلى أطوال x و y. هكذا x + y = b. لاحظ أن x أو y يمكن أن تكون سالبة ، إذا كانت القمة مائلة إلى يسار أو يمين القاعدة. استخدم نظرية فيثاغورس مرتين لتحصل على:

استبدل y بـ b-x ، واستبدل x بـ a × cos (& # 952) ، واشتق قانون جيب التمام. وهكذا فإن التعريف الجبري للزاوية يطابق التعريف الهندسي ينتج كلاهما نفس جيب التمام.

بالنظر إلى قانون جيب التمام ، أثبت قانون الجيب بتوسيع الخطيئة (& # 952) 2 / ج 2. استبدل sin 2 بـ 1-cos 2 ، وبموجب قانون جيب التمام ، يصبح cos (& # 952) 2 + b 2 -c 2 على 2ab. إذا قمت بإجراء كل الجبر ، يصبح التعبير:

2 أ 2 ب 2 + 2 أ 2 ص 2 + 2 ب 2 ص 2 - أ 4 - ب 4 - ص 4 على 4 أ 2 ب 2 ص 2

لاحظ أن هذا المقدار متماثل بالنسبة إلى المتغيرات الثلاثة. تعتمد القيمة الدقيقة على شكل المثلث ، ولكن بالنسبة لأي مثلث ، فإن جيب الزاوية مقسومًا على طول الضلع المقابل هو نسبة ثابتة.


شاهد الفيديو: الدرس 4-4 قانون الجيوب. رياضيات 4 (ديسمبر 2021).