مقالات

5.3: تفرد عمودي


نظرية ( PageIndex {1} )

يوجد سطر واحد فقط يمر عبر نقطة معينة (P ) ويكون عموديًا على خط معين ( ell ).

وفقًا للنظرية أعلاه ، هناك نقطة فريدة (Q in ell ) مثل ((QP) perp ell ). تسمى هذه النقطة (Q ) نقطة قدم (P ) على ( ell ).

دليل - إثبات

إذا (P in ell ) ، فإن الوجود والتفرد يتبعان أكسيوم III.

وجود لـ (P not in ell ). لنفترض أن (A ) و (B ) نقطتان مميزتان في ( ell ). اختر (P ') بحيث (AP' = AP ) و ( meauredangle BAP ' equiv - selectedangle BAP ). وفقًا لـ Axiom IV ، ( triangle AP'B cong triangle APB ). على وجه الخصوص ، (AP = AP ') و (BP = BP' ).

وفقًا للنظرية 5.2.1 ، (A ) و (B ) استلقي على المنصف العمودي لـ ([PP '] ). على وجه الخصوص ، ((PP ') perp (AB) = ell ).

التفرد لـ (P not in ell ). من الأعلى يمكننا اختيار نقطة (P ') بطريقة تشكل ( ell ) المنصف العمودي إلى ([PP'] ).

افترض (m perp ell ) و (P in m ). ثم (m ) هو منصف عمودي على بعض الأجزاء ([QQ '] ) من ( ell ) ؛ على وجه الخصوص ، (PQ = PQ ').

نظرًا لأن ( ell ) هو المنصف العمودي لـ ([PP '] ) ، نحصل على ذلك (PQ = P'Q ) و (PQ' = P'Q '). وبالتالي،

(P'Q = PQ = PQ '= P'Q' ).

وفقًا للنظرية 5.2.1 ، يقع (P ') على المنصف العمودي لـ ([QQ'] ) ، وهو (م ). بواسطة Axiom II ، (m = (PP ') ).


في الحالة تلك دبليو هو الفضاء الجزئي لـ V = R 5 < displaystyle V = mathbb ^ <5>> (مع حاصل الضرب النقطي المعتاد) ممتد بصفوف المصفوفة التالية ،

مكمله المتعامد دبليو يمتد من خلال نواقل الصفوف الثلاثة

يمكن التحقق من حقيقة أن كل متجه في القائمة الأولى متعامد مع كل متجه في القائمة الثانية عن طريق الحساب المباشر. حقيقة أن امتدادات هذه النواقل متعامدة تتبعها خطية المنتج النقطي. أخيرًا ، حقيقة أن هذه المسافات هي مكملات متعامدة تتبع علاقات الأبعاد الواردة أدناه.

يمتد التعريف إلى شكل ثنائي الخط على وحدة حرة فوق حلقة تبادلية ، وإلى شكل سِسْكُلِيّ ممتد ليشمل أي وحدة حرة على حلقة تبادلية مع الاقتران. [1]

تحرير الخصائص

تحرير الخصائص

يتم إغلاق المكمل المتعامد دائمًا في الهيكل المتري. في المساحات ذات الأبعاد المحدودة ، هذا مجرد مثال على حقيقة أن جميع المساحات الفرعية لفضاء متجه مغلقة. في مساحات هيلبرت اللانهائية الأبعاد ، لا يتم إغلاق بعض الفراغات الفرعية ، ولكن يتم إغلاق جميع المكملات المتعامدة. إذا كانت W < displaystyle W> هي فضاء فرعي متجه لمساحة منتج داخلية ، فإن المكمل المتعامد للمكمل المتعامد لـ W < displaystyle W> هو إغلاق W ، < displaystyle W ،> أي ،

يعمم المكمل المتعامد على المبيد ، ويعطي اتصال Galois على مجموعات فرعية من مساحة المنتج الداخلية ، مع عامل الإغلاق المرتبط ، الإغلاق الطوبولوجي للامتداد.

أبعاد محدودة تحرير

هناك تناظرية طبيعية لهذه الفكرة في فضاءات باناخ العامة. في هذه الحالة يعرّف المرء التكملة المتعامدة لـ دبليو ليكون فضاءًا فرعيًا لازدواجية الخامس تم تعريفه بالمثل على أنه المبيد

إنها دائمًا مساحة فرعية مغلقة لـ الخامس ∗. هناك أيضا التناظرية للخاصية التكميلية المزدوجة. دبليو ⊥⊥ هي الآن مساحة فرعية لـ الخامس ∗∗ (وهو ليس مطابقًا لـ الخامس). ومع ذلك ، فإن المساحات الانعكاسية لها تماثل طبيعي أنا ما بين الخامس و الخامس ∗∗. في هذه الحالة لدينا

هذه نتيجة مباشرة إلى حد ما لنظرية هان باناخ.

في النسبية الخاصة ، يتم استخدام المكمل المتعامد لتحديد المستوى الفائق المتزامن عند نقطة من خط العالم. يحدد الشكل الخطي η المستخدم في فضاء مينكوفسكي مساحة الأحداث الإقليدية الزائفة. الأصل وجميع الأحداث على مخروط الضوء متعامدة ذاتيًا. عندما يتم تقييم حدث زمني وحدث فضائي بقيمة صفر تحت الشكل الثنائي الخطي ، فإنهما يكونان متعامدين بشكل قطعي. ينبع هذا المصطلح من استخدام اثنين من القطع الزائدية المترافقة في المستوى الإقليدي الزائف: الأقطار المترافقة لهذه القطع الزائدة هي قطعي متعامد.


5.3: تفرد عمودي

الحل للتمرين 2.57.
إن قيمة عمل إقليدس باعتباره تحفة المنطق مبالغ فيها بشكل صارخ.
برتراند راسل (1872–1970)


تمرين 2.57.إثبات نظرية 2.12. بالنظر إلى خط ونقطة ليست على الخط ، يوجد خط فريد متعامد مع الخط المعطى خلال النقطة المحددة.

دليل - إثبات. دع l يكون خطا و ص كن نقطة لا على الخط ل. يترك أ و ب تكون نقطتين على الخط ل. بواسطة زاوية البناء مسلمة ، هناك شعاع عبد القدير مع س و ص على طرفي نقيض الخط ل وبواسطة الحاكم المسلم ، هناك نقطة R عبر الانترنت عبد القدير وعلى نفس الجانب من الخط ل كما س مثل ذلك AR = AP. لاحظ أن P. و ص على جانبي الخط المتقابل ل. ومن ثم ، من خلال افتراض الفصل المستوي ، هناك نقطة ج عبر الانترنت ل مثل أن P-C-R. أحد الأمور التالية صحيح: A-B-C ، C = B ، A-C-B ، C = A ، أو C-A-B.

الحالة 1. افترض أ-ب-ج ، ج = ب ، أو أ-ج-ب. منذ ذلك الحين ولدينا بالتالي ، وبالتالي ، وهما زوجان خطيان من الزوايا المتطابقة ، منذ P-C-R. نظرًا لأن الزوج الخطي من الزوايا المتطابقة هو زوايا قائمة ، خط العلاقات العامة عمودي على الخط

الحالة 2. افترض ج = أ. منذ و P-A-R، وهي زوج خطي من الزوايا المتطابقة. نظرًا لأن الزوج الخطي من الزوايا المتطابقة هو زوايا قائمة ، خط العلاقات العامة عمودي على الخط

الحالة 3. افترض سيارة أجرة. ثم زوج خطي. أيضا ، وزوج خطي. ومن ثم ، من خلال الملحق افترض وتعريف الزوايا التكميلية ، وبالتالي ،

منذ ذلك الحين ولدينا بالتالي ، وبالتالي ، وهما زوجان خطيان من الزوايا المتطابقة ، منذ P-C-R. نظرًا لأن الزوج الخطي من الزوايا المتطابقة هو زوايا قائمة ، خط العلاقات العامة عمودي على الخط

تظهر جميع الحالات أن هناك خط من خلال ص عمودي على الخط ل. نحن بحاجة إلى إظهار أن الخط فريد من نوعه. افترض أن هناك سطرين من خلال ص التي هي عمودية على الخط ل. يترك أ و ب كن النقاط على الخط ل حيث يتقاطع الخطان العموديان مع الخط ل. يترك ج تكون نقطة على الخط ل مثل ذلك أ-ب-ج. ثم الزاوية الخارجية. بواسطة نظرية الزاوية الخارجية ، منذ السطر PB والخط السلطة الفلسطينية عمودي على الخط ل، وزوايا قائمة. وبالتالي ، لكن هذا تناقض. لذلك ، من خلال الخط ص هذا عمودي على الخط ل فريد من نوعة.//


يوجد عدد لا حصر له من المتجهات في 3 أبعاد متعامدة مع واحد ثابت. يجب أن تفي بالصيغة التالية فقط: $ (3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf) cdot v = 0 دولار

للعثور عليهم جميعًا ، ما عليك سوى اختيار متجهين عموديين ، مثل $ v_1 = (4 mathbf-3 mathbf) $ و $ v_2 = (2 mathbf+3 mathbf) $ وأي تركيبة خطية منهم تكون أيضًا متعامدة مع المتجه الأصلي: $ v = ((4a + 2b) mathbf-3 أ mathbf+ 3 ب mathbf) hspace <10 mm> a، b in mathbb$

خذ المنتج المتقاطع مع أي متجه. سوف تحصل على أحد هذه المتجهات.

تتمثل إحدى المشكلات ذات الصلة في بناء خوارزمية تجد متجهًا عموديًا غير صفري بدون تفرع. إذا كان متجه الإدخال هو N = (أ ، ب ، ج) ، فيمكنك دائمًا اختيار T = (c ، c ، -a-b) ولكن T ستكون صفرًا إذا كانت N = (- 1،1،0). يمكنك دائمًا التحقق لمعرفة ما إذا كانت T تساوي صفرًا ، ثم اختر T = (-b-c ، a ، a) إذا كانت كذلك ، لكن هذا يتطلب اختبارًا وفرعًا. لا يمكنني رؤية كيفية القيام بذلك بدون الاختبار والفرع.

أنت فقط بحاجة إلى أن تجد أي المتجه $ v neq 0 $ مثل أن $ v cdot (3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf) = 0$.

لا يوجد حل فريد ، سيفعله أحد. لحفظ الكتابة ، دع $ p = 3 mathbf+4 mathbf-2 mathbf$.

اختر المتجه $ x $ ، وهذا هو ليس على السطر من خلال الأصل و $ p $. خذ $ x = 3 mathbf$ ، على سبيل المثال.

أنشئ متجهًا عموديًا على $ p $ بالطريقة التالية: ابحث عن قيمة $ t $ بحيث يكون $ (x + t p) cdot p = 0 $. ثم المتجه $ v = x + t p $ سيكون عموديًا على $ p $.

في المثال الخاص بي ، $ (x + t p) = (3 + 3 t) mathbf+4 ر mathbf-2t mathbf$ و $ (x + t p) cdot p = 9 + 29 t $. باختيار $ t = - frac <9> <29> $ ، يصبح المتجه $ v = x + t p $ متعامدًا مع $ p $.

يمكن أن يكون الحل المقترح بدون فرع هو: إنشاء مصفوفة مكونة من عنصرين متجهين بالطريقة التالية:

إذا كانت (c، c، -a-b) تساوي صفرًا ، فحدد الفهرس 1 وسيتم تحديد المتجه الآخر.

لأي متجه غير صفري $ (a، b، c) $ ، الثلاثة $ (0، c، -b)، (- c، 0، a) $ and $ (- b، a، 0) $ متعامدة مع هو - هي.

لتجنب & quot Parallel Case & quot ، يمكنك اختيار المعامل الذي يحتوي على أكبر معامل تربيع ، من بين $ c ^ 2 + b ^ 2 ، أو c ^ 2 + a ^ 2 $ و $ b ^ 2 + a ^ 2 $ ، أو الذي به أكبر مكونين مطلقين أو ببساطة أحدهما يحتوي على أكبر مكون مطلق. سيؤدي اختيار الأكبر أيضًا إلى تحسين الاستقرار العددي.

يتوافق أكبر معامل تربيع أيضًا مع أصغر مكون (مطلق).

طريقة واحدة للقيام بذلك هي التعبير عن المتجه من حيث نظام الإحداثيات الكروية. فمثلا

بشرط أن يكون $ a neq 0 $ أو $ b neq 0 $ حينها

بالطبع ، أي تركيبة خطية غير صفرية من هذين المتجهين هي أيضًا متعامدة

$ boldsymbol = cos (t) boldsymbol_1 + sin (t) boldsymbol_2 $

حيث $ t $ زاوية دوران حول المتجه $ boldsymbol$ .

ضع كل ذلك معًا لتكوين عائلة من المتجهات المتعامدة بدلالة $ t $ as

للحصول على $ boldsymbol = pmatrix <3 & amp 4 & amp -2> $ يعطي الجزء العلوي

$ boldsymbol = pmatrix < frac <6> <4> sin (t) -4 cos (t) 3 cos (t) - frac <8> <5> sin (t) 5 الخطيئة (t)> longrightarrow start جريئة = pmatrix <-4 & amp 3 & amp 0> & amp t = 0 boldsymbol = pmatrix < frac <6> <5> & amp frac <8> <5> & amp 5> & amp t = frac < pi> <2> end $

في الحالة التي يكون فيها $ a = 0 $ و $ b = 0 $ ، فأنت تعلم أنه يمكنك إسناد العمود العمودي إلى حد ما بشكل تعسفي مع

$ boldsymbol = cos (t) boldsymbol_1 + sin (t) boldsymbol_2$

سيكون الحل الهندسي على النحو التالي. المستوى $ 3x + 4y-2z = 0 $ عمودي على المتجه $ 3i + 4j − 2k $. وبالتالي ، فإن أي متجه في هذا المستوى يكون متعامدًا مع هذا المتجه. وبالتالي يمكنك اختيار أي $ x $ و $ y $ و $ z $ التي تقع في المستوى $ 3x + 4y-2z = 0 $ وسيكون الناتج $ xi + yj + zk $ عموديًا على $ 3i + 4j − 2k $ ،

المتجهات العمودية على $ (3،4، -2) $ تشكل فضاء جزئي ثنائي الأبعاد ، المستوى $ 3x + 4y-2z = 0 $ ، من خلال الأصل.

للحصول على حلول ، اختر قيمًا لأي اثنين من $ x و y $ و $ z $ ، ثم استخدم المعادلة لحل المعادلة الثالثة.

يمكن أيضًا وصف مساحة الحلول على أنها $ V ^ < perp> $ ، حيث $ V = <(3t، 4t، -2t): t in Bbb R > $ هو الخط (أو متجه ذو بُعد واحد space) امتد بـ $ (3،4-2) $.

اجابة قصيرة: المتجه $ (s_z ، (z + s_z) - x ^ 2، -x y، -x ، (z + s_z)) $ مع $ s_z: = text(z) ، | (x، y، z) | $ متعامد مع المتجه $ (x، y، z) $.

لاحظ أننا نفترض أن $ text(x) يُعرّف $ على أنه 1 $ لـ $ x ge 0 $ و $ -1 $ بخلاف ذلك.

لنفترض أن $ (x، y، z) $ يكون متجهًا بالمعيار s و z> -s ، فإن المصفوفة التالية هي أساس متعامد حيث يكون لكل متجه أساس المعيار:

هناك حالتان بارزتان إذا كانت z = -s:

  1. المتجه على شكل $ (0،0، z) $ مع z & lt 0 ويمكننا ببساطة قلبه قبل تطبيق الصيغة أعلاه. كما هو موضح أدناه ، يمكن استغلال هذا للحصول على تطبيق مجاني.
  2. المتجه هو المتجه الصفري $ (0،0،0) $. "العمودي" ليس له معنى كبير في حالة المتجه الصفري. إذا قمت بتفسيرها على أنها "حاصل الضرب النقطي هو صفر" ، يمكنك فقط إرجاع المتجه الصفري.

يمكننا التعامل مع هاتين المشكلتين على النحو التالي:

لنلقِ نظرة على المتجه الأول: $ (s - frac، - فارك، -x) $. يمكن تجنب التفرد عند $ (0،0، -1) $ عن طريق عكس متجه الإدخال ثم عكس النتيجة التي تعطي: $ (- s - frac، - فارك، -x) $.

باتباع هذه الفكرة يمكننا تعيين $ s_z: = text(z) ، s $ وحساب متجه الأساس المتعامد لـ أي متجه غير فارغ $ (x، y، z) $ كـ:

يؤدي هذا إلى تطبيق C ++ لطيف خالٍ من الفروع لمتجه طبيعي:

تحقق من تنفيذ copysign على النظام الأساسي الخاص بك للتأكد من أن copysign (1 ، 0.) يُرجع 1 وليس 0.

بالنسبة إلى المتجه التعسفي ، وليس بالضرورة أن يكون طبيعيًا ، يمكننا استخدام خدعة صغيرة للحصول على متجه متعامد: نقوم بقياس المتجه حسب العامل $ z + s_z $ للحصول على:

$ (s_z ، (z + s_z) - x ^ 2، -x y، -x ، (z + s_z)) $

لا يزال هذا المتجه متعامدًا مع المتجه الأصلي $ (x، y، z) $ حيث تم قياسه بواسطة عامل. كما أن لها قاعدة صفرية إذا وفقط إذا كان معيار المتجه الأصلي هو 0.


حساب الجمود الدوراني بدون تكامل

خلال دراستنا للميكانيكا ، كان هدفنا هو تطوير أدوات مختصرة لمساعدتنا على التعامل مع الأنظمة المادية بطرق أبسط. لقد طورنا طاقة العمل حتى نتمكن من حل المشكلات التي لا تولي اهتمامًا للاتجاه أو الوقت دون الخضوع لقوانين نيوتن (مثل السرعة عند ارتفاع معين في حلقة حلقة). لقد طورنا الزخم الدافع حتى نتمكن من حل المشكلات التي تنطوي على أنظمة تكون فيها القوى الداخلية معقدة (مثل الاصطدامات) بسهولة أكبر. نقوم الآن بتطوير أدوات تتعلق بالدوران الصلب للجسم حتى لا نضطر إلى تتبع الحركات الخطية لجميع الجسيمات في النظام. مع هذه العقلية العملية للغاية ، ليس من المستغرب أن يكون علماء الفيزياء قد طوروا أدوات لحساب الجمود الدوراني الذي يتجنب قبح الاضطرار دائمًا إلى أداء التكاملات. أول اختصار من هذا القبيل هو ببساطة مجموعة من القصور الذاتي الدوراني المرتبطة بأشكال هندسية متماثلة شائعة ، مثل القضبان والأقراص والمجالات. مجموعتنا ترد في نهاية القسم. هناك نوعان من الأدوات التي يمكننا دمجها مع مجموعتنا من القصور الذاتي الدوراني والتي ستتيح لنا & quot؛ اقتباس & & quot؛ طريقتنا لتحديد المزيد.

الجمع حول محور مشترك

لنفترض أننا نعرف القصور الذاتي الدوراني لكائنين منفصلين حول محور مشترك. إذا تم إرفاق هذين الجسمين بحيث يدوران معًا بشكل صارم حول هذا المحور المشترك ، فإن الجمود الدوراني للكائن المدمج هو ببساطة مجموع القصور الذاتي الدوراني. يتضح هذا من صيغة الجمود الدوراني: كل كائن له مجموع مصطلحاته (mx ^ 2 ) ، وعندما يتم دمج الكائنات بحيث تكون محاورها شائعة ، فإن المجموع الجديد لـ المصطلحات (mx ^ 2 ) هي ببساطة الجمع بين المجموع الفردي. كي تختصر:

استخدم الخاصية المضافة لقصور الدوران والنتيجة الواردة في المعادلة 5.3.7 لإيجاد القصور الذاتي الدوراني لقضيب رقيق موحد للكتلة (M ) وطول (L ) حول مركز كتلته.

يمكننا التعامل مع قضيب يدور حول محور من خلال مركزه كما لو كان نصف قضيبين منفصلين نصف الكتلة ونصف الطول ، متصلان في نهايتيهما. المحور الذي يمر على الرغم من أن مركز القضيب يمر عبر طرفي هذين النصفين ، ونعرف القصور الذاتي الدوراني لكل نصف قضيب. ثم تعطينا خاصية الجمع الجمود الدوراني للقضيب بأكمله حول مركزه:

نظرية المحور المتوازي

كما رأينا عدة مرات بالفعل ، فإن مجرد تغيير المحور الذي يتم تدوير الكائن حوله سيؤدي إلى قصور دوراني مختلف. لنفترض أننا قمنا بحساب القصور الذاتي الدوراني لكائن حول محور ، ثم حرك هذا المحور بطريقة موازية على الكائن ، وحسب القصور الذاتي الدوراني الجديد ، ثم قم بذلك مرارًا وتكرارًا ، مع تسجيل القيم الجديدة في كل مرة. قد يسأل المرء ، & quot أين هو المحور (الموازي للمحور الأصلي) الذي يكون فيه القصور الذاتي الدوراني هو أصغر؟ & quot هل هناك أي طريقة لتخمين أين قد يكون هذا ، وهل هو فريد من نوعه ، أو قد يكون هناك أماكن متعددة يصل فيها القصور الذاتي الدوراني إلى الحد الأدنى؟

للإجابة على هذا السؤال ، دعنا ننظر إلى كائن أحادي البعد يقع على طول المحور (س ) ، وننظر إلى القصور الذاتي الدوراني حول المحور (ص ). كتابته كمجموع وليس جزءًا لا يتجزأ ، فهو:

[I = m_1x_1 ^ 2 + m_2x_2 ^ 2 + dots ]

لنفترض الآن أننا قررنا تغيير مكان وضع الأصل ، ونقله مسافة (+ س ) على طول (س ) - المحور. عندما نقوم بذلك ، تتغير المسافة من المحور إلى الكتلة (m_1 ) من (x_1 ) إلى (x_1-x ). أيضًا ، نظرًا لأن المحور الأصلي قد مر من خلال الأصل ، فإن هذا المحور الجديد لم يعد المحور (y ) - & n هو الآن يتقاطع مع (x ) - المحور عند (x ). وبالتالي ، فإن الجمود الدوراني الجديد هو:

[I = m_1 left (x_1-x right) ^ 2 + m_2 left (x_2-x right) ^ 2 + dots ]

يمكننا اعتبار هذا دالة لـ (x ). أي أن هذه الصيغة توفر الجمود الدوراني للكائن حول المحور الموجود في (س ). يمكننا الآن الإجابة على سؤالنا حول مكان القصور الذاتي عند الحد الأدنى باستخدام حساب التفاضل والتكامل. قيمة (x ) التي تكون الدالة (I left (x right) ) هي الحد الأدنى الذي يرضي:

[0 = dfrac = -2m_1 left (x_1-x right) - 2m_2 left (x_2-x right) + dots ]

يوفر حل (x ) هنا نتيجة مألوفة:

القصور الذاتي الدوراني لجسم ما لجميع المحاور الموازية لبعضها البعض هو الحد الأدنى للمحور الذي يمر عبر مركز الكتلة! في الواقع ، لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا للغاية. سيتم تقليل القصور الذاتي الدوراني لجسم ما حول محور أقرب ما يمكن إلى أكبر قدر ممكن من كتلة الكائن ، ويكون مركز الكتلة هو & quaverage موقع الكتلة ، & quot ؛ لذا فمن المنطقي أن يكون هذا & quot؛ قريبة من أكبر قدر ممكن من كتلة الجسم. & quot

بالنظر إلى هذه المعلومات ، يمكننا كتابة القصور الذاتي الدوراني لجسم حول محور موازٍ لمحور يمر عبر مركز الكتلة وتعديل قيمته الإيجابية & quot ؛ لقصور الدوران حول مركز الكتلة. اتضح (لن نثبت ذلك هنا) أن هذا الضبط بسيط للغاية - إنه مجرد كتلة الجسم مضروبة في مربع مسافة الإزاحة بين المحور الجديد والمحور عبر مركز الكتلة. هذا يسمى نظرية المحور المتوازي :

حيث (د ) هي المسافة التي تفصل بين المحور الجديد ومركز الكتلة.

استخدم نظرية المحور المتوازي والنتيجة المعطاة في المعادلة 5.3.7 لإيجاد القصور الذاتي الدوراني لقضيب رقيق موحد للكتلة (M ) والطول (L ) حول مركز كتلته.

المسافة التي تفصلها نهاية القضيب عن مركز كتلة القضيب هي (d = L / 2 ). بإدخال هذا في نظرية المحور المتوازي ، نحصل على إجابتنا ، والتي تتفق مع ما حصلنا عليه في المثال 5.2.2:

[ أنا_ = أنا_ + Md ^ 2 Rightarrow I_ = أنا_ - Md ^ 2 = frac <1> <3> ML ^ 2 - M left ( dfrac<2> right) ^ 2 = left ( frac <1> <3> - frac <1> <4> right) ML ^ 2 = boxed < frac <1> <12> ML ^ 2 > عدد ]


أسئلة

بالنسبة للأسئلة من 1 إلى 6 ، أوجد ميل أي خط يوازي كل خط معطى.

بالنسبة للأسئلة من 7 إلى 12 ، أوجد ميل أي خط عمودي على كل خط معطى.

للأسئلة من 13 إلى 18 ، اكتب صيغة الميل والمقطع لمعادلة كل خط باستخدام النقطة والخط المحددين.

  1. (1 ، 4) وبالتوازي مع
  2. (5 ، 2) وعمودي على
  3. (3 ، 4) وبالتوازي مع
  4. (1، −1) وعمودي على
  5. (2، 3) و موازية ل
  6. (−1، 3) وعمودي على

للأسئلة من 19 إلى 24 ، اكتب الصيغة العامة لمعادلة كل سطر باستخدام النقطة والخط المحددين.

  1. (1، −5) وبالتوازي مع
  2. (1، −2) وعمودي على
  3. (5 ، 2) و موازية ل
  4. (1 ، 3) وعمودي على
  5. (4 ، 2) وبالتوازي مع
  6. (3، −5) وعمودي على

للأسئلة من 25 إلى 36 ، اكتب معادلة الخط الأفقي أو الخط الرأسي الذي يمر عبر كل نقطة.

  1. خط أفقي من خلال (4 ، −3)
  2. خط عمودي من خلال (−5 ، 2)
  3. من خلال الخط العمودي (−3،1)
  4. خط أفقي من خلال (−4 ، 0)
  5. خط أفقي من خلال (−4 ، −1)
  6. خط عمودي من خلال (2 ، 3)
  7. خط عمودي من خلال (−2 ، −1)
  8. خط أفقي من خلال (−5 ، −4)
  9. خط أفقي من خلال (4 ، 3)
  10. خط عمودي من خلال (−3 ، −5)
  11. خط عمودي من خلال (5 ، 2)
  12. خط أفقي من خلال (5 ، -1)

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-3-6 / & # 8221 & gtAnswer Key 3.6


نبذة مختصرة

تم فحص سلوك محاذاة القص من أجل CA smectic (Sكاليفورنيا) مرحلة من بوليستر BB-5 (3-Me) السلسلة الرئيسية باستخدام تركيبات مخروطية ولوحة. في منطقة درجة الحرارة القاسية من 100 إلى 140 درجة مئوية ، تم تحديد اتجاهين متميزين من خلال حيود الأشعة السينية بزاوية واسعة. عند درجات حرارة أقل من 130 درجة مئوية ، يتم ترتيب الطبقات اللطيفة مع وحدة عمودية طبيعية لاتجاه القص وموازية لاتجاه تدرج السرعة (ما يسمى بالاتجاه المتوازي). يؤدي القص عند درجات حرارة عالية بالقرب من درجة حرارة الخواص إلى اتجاه طبقات smectic مع وحدة عموديًا عموديًا على كل من اتجاهات انحدار التدفق والسرعة (الاتجاه العمودي). في درجات الحرارة المتوسطة ، يتعايش كلا الاتجاهين. يتضمن ملف SR-SAXS للعينة الموجهة الموازية المقاسة بالإشعاع على طول اتجاه الدوامة ذروة صغيرة مع تباعد حوالي 80 في اتجاه تدرج السرعة الموازي لمحور السلسلة. التباعد الطويل أكبر بحوالي 5 مرات من طول وحدة التكرار ، أي سماكة الطبقة السميكة (16.4 Å) ، مما يدل على وجود صفائح مطوية بسلسلة. يُعزى الاتجاه الموازي إلى الانزلاق المتبادل للصفائح المطوية بالسلسلة. من ناحية أخرى ، في درجات الحرارة العالية اللطيفة ، يحدث تدفق الجزيئات داخل طبقة صغيرة بشكل تفضيلي للشريحة المتبادلة للصفائح ، المسؤولة عن الاتجاه العمودي.

مؤلف المراسلات: Tel + 81-3-5734-2834 Fax + 81-3-5734-2888 البريد الإلكتروني [email & # 160protected]


محتويات

تحرير معادلات ماكسويل

بشكل عام ، يعتبر مجال إزالة المغناطيسية دالة للموضع ح(ص). مشتق من المعادلات المغناطيسية لجسم بدون تيارات كهربائية. [2] هذا هو قانون أمبير

يرتبط المجال المغناطيسي وكثافة التدفق بواسطة [5] [6]

تحرير الإمكانات المغناطيسية

يمكن التعبير عن الحل العام للمعادلة الأولى على أنه التدرج اللوني للجهد القياسي U (ص) :

داخل الجسم المغناطيسي ، الجهد U في يتم تحديده عن طريق استبدال (3) و (4) في (2):

خارج الجسم ، حيث يكون المغناطيس صفرًا ،

يوجد متطلبان للاستمرارية على سطح المغناطيس: [5]

  • مكون حيجب أن تكون موازية للسطح مستمرة (لا يوجد قفزة في القيمة على السطح).
  • مكون بيجب أن يكون عموديًا على السطح مستمرًا.

هذا يؤدي إلى الظروف الحدودية التالية على سطح المغناطيس:

الإمكانات الخارجية U خارج يجب أن يكون أيضًا منتظم في ما لا نهاية: كلاهما | ص ش | و | ص 2 يو | يجب أن يتم تقييدها لأن r يذهب إلى ما لا نهاية. هذا يضمن أن الطاقة المغناطيسية محدودة. [10] بعيدًا بدرجة كافية ، يبدو المجال المغناطيسي مثل مجال ثنائي القطب المغناطيسي مع نفس عزم الجسم المحدود.

تفرد مجال إزالة المغناطيسية تحرير

أي احتمالين يحققان المعادلات (5), (6) و (7) ، جنبًا إلى جنب مع الانتظام في اللانهاية ، متطابقة. مجال إزالة المغناطيسية حد هو انحدار هذا الجهد (المعادلة 4).

تحرير الطاقة

يتم تحديد طاقة مجال إزالة المغناطيسية تمامًا عن طريق تكامل حجم المغناطيس V:

افترض أن هناك نوعان من المغناطيسات ذات مغناطيسات م1 و م2 . طاقة المغناطيس الأول في مجال إزالة المغناطيسية حد (2) من الثانية

ال نظرية المعاملة بالمثل تنص على أن [9]

تحرير الشحنة المغناطيسية ومبدأ تجنب القطب

بشكل رسمي ، حل المعادلات للجهد هو

أين ص′ هو المتغير الذي يجب دمجه على حجم الجسم في التكامل الأول والسطح في الثاني ، و ∇ ′ هو التدرج بالنسبة لهذا المتغير. [9]

من الناحية النوعية ، سلبية تباعد المغنطة - ∇ · م (يسمى ب عمود الحجم) مشابه لشحنة كهربائية مجمعة في الجسم أثناء ن · م (يسمى ب قطب السطح) مشابه لشحنة كهربائية سطحية مرتبطة. على الرغم من عدم وجود الشحنات المغناطيسية ، قد يكون من المفيد التفكير فيها بهذه الطريقة. على وجه الخصوص ، يمكن في كثير من الأحيان فهم ترتيب المغنطة الذي يقلل من الطاقة المغناطيسية من حيث مبدأ تجنب القطب، والتي تنص على أن المغنطة تحاول تقليل القطبين قدر الإمكان. [9]

تحرير مجال واحد

تتمثل إحدى طرق إزالة الأقطاب المغناطيسية داخل المغناطيس الحديدي في جعل المغنطة موحدة. يحدث هذا في المغناطيسات الحديدية أحادية المجال. لا يزال هذا يترك أعمدة السطح ، لذا فإن التقسيم إلى مجالات يقلل من القطبين أكثر. ومع ذلك ، يتم الاحتفاظ بالمغناطيسات الحديدية الصغيرة جدًا ممغنطة بشكل موحد من خلال تفاعل التبادل.

يعتمد تركيز الأقطاب على اتجاه المغنطة (انظر الشكل). إذا كانت المغنطة على طول المحور الأطول ، فإن الأقطاب تنتشر عبر سطح أصغر ، وبالتالي تكون الطاقة أقل. هذا هو شكل من أشكال التباين المغناطيسي يسمى تباين الشكل.

تحرير مجالات متعددة

إذا كان المغناطيس الحديدي كبيرًا بدرجة كافية ، يمكن أن ينقسم مغنطيته إلى مجالات. ومن ثم يصبح من الممكن أن تكون المغنطة موازية للسطح. داخل كل مجال ، يكون المغناطيس منتظمًا ، لذلك لا توجد أعمدة حجم ، ولكن هناك أعمدة سطحية في الواجهات (جدران المجال) بين المجالات. ومع ذلك ، تتلاشى هذه الأقطاب إذا كانت اللحظات المغناطيسية على كل جانب من جدار المجال تقابل الجدار بنفس الزاوية (بحيث تكون المكونات ن · م هي نفس العلامة ولكن العكس). يتم استدعاء المجالات التي تم تكوينها بهذه الطريقة مجالات الإغلاق.

يحتوي الجسم المغناطيسي الذي تم تشكيله بشكل عشوائي على مجال مغناطيسي إجمالي يختلف باختلاف الموقع داخل الجسم ويمكن أن يكون حسابه صعبًا للغاية. هذا يجعل من الصعب للغاية تحديد الخصائص المغناطيسية لمادة مثل ، على سبيل المثال ، كيفية اختلاف مغنطة مادة مع المجال المغناطيسي. للحصول على كرة ممغنطة بشكل موحد في مجال مغناطيسي موحد ح0 المجال المغناطيسي الداخلي ح موحد:

أين م0 هو مغنطة الكرة و يسمى عامل إزالة المغناطيسية ويساوي 4 π / 3 للكرة. [5] [6] [11]

يمكن تعميم هذه المعادلة لتشمل الأشكال البيضاوية ذات المحاور الرئيسية في اتجاهات x و y و z بحيث يكون لكل مكون علاقة بالشكل: [6]

ومن الأمثلة المهمة الأخرى صفيحة لا نهائية (شكل بيضاوي مع اثنين من محاوره يذهبان إلى اللانهاية) والتي لها γ = 4 π في الاتجاه الطبيعي للوحة وصفر بخلاف ذلك وأسطوانة لانهائية (شكل بيضاوي مع أحد محاوره يميل نحو اللانهاية مع كون الاثنان الآخران متماثلين) حيث γ = 0 على طول محوره و 2 π عموديًا على محوره. [12] عوامل إزالة المغناطيسية هي القيم الأساسية لموتّر نزع الاستقطاب ، والتي تعطي القيم الداخلية والخارجية للحقول المستحثة في الأجسام الإهليلجية بواسطة المجالات الكهربائية أو المغناطيسية المطبقة. [13] [14] [15]


2. نظرية المثلث

2.1. نظرية المثلث 1 ل 1 نفس الطول: ASA

إذا و و. لاحظ زاويتين عند طرفي الضلع المتساوي للمثلث.

2.1.1. دليل - إثبات

هناك & # 8217s خط واحد فقط موازٍ لـ AB من E ، وبالمثل يوجد خط واحد فقط موازٍ لـ CA من F.

لذا فإن هذين المثلثين متطابقان بسبب خاصية التفرد

2.2. نظرية المثلث 2 ل 2 نفس الطول: SAS

إذا و. لاحظ الزاوية التي يصنعها ضلعان متساويان من المثلث.

2.2.1. دليل - إثبات

& # 8217s فقط سطر واحد من D إلى F لإنشاء هذا المثلث.

لذا فإن هذين المثلثين متطابقان بسبب خاصية التفرد

2.3 نظرية المثلث 3 لـ 3 نفس الطول: SSS

2.3.1. دليل - إثبات

ارسم دائرة عند E wirh radius ED ودائرة أخرى عند F بنصف قطر FD ، فهما يقطعان عند نقطة واحدة D لإنشاء شكل فريد ..


الهندسة ، النمط الأساسي المشترك

هذا الأسبوع ، سأعود إلى الفصل 3 من نص U of Chicago ، لالتقاط بعض الدروس التي تخطيناها. ولكن حتى ذلك الحين ، فأنا لا أقوم ببساطة بعمل النصف الثاني من الفصل الثالث بالترتيب. أولاً ، ما زلت أتجاوز القسم 3-4 ، لأنني أرغب في حفظ افتراض الزوايا المتوافقة حتى بعد أن أكون جاهزًا لإظهار طريقة Hung-Hsi Wu لاشتقاق هذه الخاصية - والتي أخطط للقيام بها قريبًا.

رسميًا ، أفعل القسم 3-5 الآن ، ولكن مرة أخرى ، ليس حقًا. دعنا ننظر في محتويات هذا القسم المحدد:

-- تعريف عمودي تم بالفعل تغطية. لقد قمت بنقلها إلى القسم 3-2 عندما حددت الزوايا القائمة ، لأنني أردت الحصول عليها قبل القفز إلى الفصل 4 حول الانعكاسات ، حيث يتم تعريف الانعكاسات من حيث عمودي منصف.

- تعتبر نظرية المتعامد مع المتوازيات حالة مثيرة للاهتمام. ذكرت الأسبوع الماضي أن هناك بعض النظريات المهمة والمثيرة للاهتمام مشتقة من عمودي على المتوازيات - وتشمل هذه خصائص الترجمات بالإضافة إلى بعض نظريات التزامن. قلت أنه قد يكون من الأفضل تضمين هذا كملف يفترض واستخدامها لإثبات تلك النظريات الأخرى. وبينما أفكر في الأمر أكثر فأكثر ، أحب فكرة تضمين هذا كمسلمة ، ثم استخدامه لإثبات تلك النظريات الأخرى بالإضافة إلى المسلسل الموازي لـ Playfair ، ثم أخيرًا استخدام Playfair لإثبات العواقب الموازية الأخرى التي تتبع د. فرانكلين ماسون.

الآن كما أوضحت في هذا المنشور ، فإن معظم ما أكتبه في هذه المدونة مشتق من علماء رياضيات مثل دكتور إم ودكتور وو ، الذين كتبوا على نطاق واسع حول الهندسة الأساسية المشتركة. لكن خطتي لتضمين عمودي على Parallels كملف يفترض يبدو أنه أصلي بالنسبة لي. لقد بحثت ولم أر حتى الآن أي نص أو موقع ويب سيشتق جميع نتائج الخطوط المتوازية من عمودي على Parallels Postulate. ثم مرة أخرى ، ما أفعله هنا ، في بعض النواحي ، قديم قدم إقليدس.

لنلقِ نظرة على المسلسل الموازي لـ Playfair مرة أخرى:

من خلال نقطة ليست على خط ، يوجد على الأكثر خط واحد موازٍ للخط المعطى.

هذا عرض مباشر وسهل الفهم لمسلمة موازية ، ويستخدم الدكتور م هذه الفرضية لاشتقاق نتائجه المتوازية. لكن دعونا نلقي نظرة على المسلسل الخامس لإقليدس ، كما هو مكتوب على موقع ديفيد جويس:

إذا كان الخط المستقيم الذي يقع على خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين المستقيمين ، إذا تم إنتاجهما إلى أجل غير مسمى ، يلتقيان في ذلك الجانب حيث تكون الزاويتان أقل من الزاويتين القائمتين.

لا يوجد نص هندسي حديث يمكنه صياغة مسلماته الموازية بهذه الطريقة. لسبب واحد ، على الرغم من أن استخدام الدرجات لقياس الزوايا يعود إلى البابليين القدماء ، إلا أن إقليدس لم يستخدم أبدًا الدرجات في كتابه عناصر. لذا فإن عبارة "أقل من زاويتين قائمتين" هي في الحقيقة طريقة إقليدس في الكتابة "أقل من 180 درجة". في الواقع ، في القسم 13-6 ، عبارات نص U of Chicago العبارات الخامسة لإقليدس على النحو التالي:

إذا تم قطع خطين بواسطة مستعرض ، وكان قياس الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض أقل من 180 ، فإن الخطوط ستتقاطع على هذا الجانب من المستعرض.

لكن دعنا نعود إلى نظرية عمودي على المتوازيات كما هو مذكور في القسم 3-5:

في المستوى ، إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون عموديًا على الآخر.

الآن احسب عدد الزوايا القائمة المذكورة في هذه النظرية. كون المستعرض عموديًا على الخط الأول يعطينا الزاوية اليمنى الأولى ، والاستنتاج القائل بأن المستعرض عمودي على الخط الثاني يعطينا الزاوية اليمنى الثانية. إذن لدينا زاويتان قائمتان - تمامًا مثل إقليدس! لذلك ، من بعض النواحي ، فإن جعل نظرية المتوازيات العمودية في فرضتنا المتوازية تجعل افتراضنا أكثر مثل المسلمة الخامسة لإقليدس ، ليس أقل.

بالطبع ، إذا أردنا أن نجعل افتراضنا أقرب إلى افتراض إقليدس ، فيمكننا أن نكتب:

إذا كان المستوى ، إذا كان المستعرض عموديًا على خط واحد وشكل زاوية حادة (أي أقل من اليمين) مع آخر ، فإن هذين الخطين يتقاطعان على نفس الجانب من المستعرض مثل الزاوية الحادة.

لكن هذا من شأنه أن يهيئنا للعديد من الأدلة غير المباشرة ، والتي أريد تجنبها. لذا فإن افتراضنا العمودي على المتوازيات هو أقرب ما يمكننا الوصول إليه من إقليدس دون الخلط بين الطلاب وبين البراهين غير المباشرة.

لذلك هذا هو بالضبط ما أخطط لفعله. نظرًا لأننا في القسم 3-5 ، القسم الذي يحتوي على "عمودي على المتوازيات" ، يمكنني تضمينه هنا - لا داعي للقلق بشأن كيفية إثبات ذلك لأنني أريد أن أجعله افتراضًا. لكنني قلت بالفعل أنني أريد الانتظار حتى الفصل الخامس قبل تضمين أي نوع من المسلمات الموازية. وهكذا فإن الفرضية الجديدة ستعطى في هذا الفصل.

- يجب أن تنتظر نظرية الخطوط العمودية والمنحدرات أيضًا. تعطي الهندسة الأساسية المشتركة طريقة مثيرة للاهتمام لإثبات هذه النظرية ، لكن الدليل يعتمد على مثلثات متشابهة ، والتي لا أخطط لتغطيتها حتى الفصل الدراسي الثاني.

So that leaves us with only one result to be covered in 3-5: the Two Perpendiculars Theorem:

If two coplanar lines ل و م are each perpendicular to the same line, then they are perpendicular to each other.

This theorem doesn't require any Parallel Postulate to prove. Indeed, even though I just wrote that I don't want to use indirect proof, in some ways this theorem is just begging for an indirect proof:

Indirect Proof:
Assume that lines ل و م are both perpendicular to line ن, yet aren't parallel. Then the lines must intersect (as they can't be skew, since we said "coplanar") at some point ص. وبالتالي ل و م نكون اثنين lines passing through point ص perpendicular to ن. But the Uniqueness of Perpendiculars Theorem (stated on this about two weeks ago) states that there is only واحد line passing through point ص perpendicular to ن, a blatant contradiction. وبالتالي ل و م must be parallel. QED

But this would be a very light lesson indeed if all I included is this one theorem. Because of this, I decided to include a theorem that I mentioned back in July -- the Line Parallel to Mirror Theorem (companion to the Line Perpendicular to Mirror Theorem mentioned a few weeks ago):

Line Parallel to Mirror Theorem:
If a line ل is reflected over a parallel line م، من ثم ل is parallel to its image l'.

As I mentioned in July, I proved this theorem in the same way that Wu proves for a similar theorem involving 180-degree rotations. In some ways, both are special cases of the following theorem:

Lemma:
Suppose تي is a transformation with the following properties:
-- The image of a line is a line.
-- Through every point ص in the plane, there exists a line إل passing through ص مثل ذلك إل is invariant with respect to تي -- that is, تي maps إل to itself.
Then any line that doesn't contain a fixed point of تي must be parallel to its image.

Notice that there are three confusing concepts in this theorem -- fixed point, invariant line, and reflection-symmetric figure. On the surface, all three mean the same thing: image of the point, line, or figure is itself. But there is a key difference -- an invariant line simply means that the image of any point on the line is also somewhere on the line -- but it need not be that point itself. In other words, not every point on an invariant line is a fixed point. Similarly, not every point on a symmetric figure needs to be a fixed point, nor every line on a symmetric figure an invariant line.

Now all Common Core transformations satisfy the first property -- that the image of a line is itself some line. (Forget about that Geogebra "circle reflection" where the image of a line can be a circle, since that's not a Common Core transformation.) As it turns out, there are five types of Common Core transformations that satisfy the second property:

-- Any reflection
-- Any translation
-- Any glide reflection
-- Any dilation
-- A rotation of 180 degrees

So notice that the only Common Core transformations not satisfying the second property are rotations of angles other than 180 degrees.

Here is a proof of the lemma. (By the way, "lemma" means a short theorem that is mainly used to prove another theorem.) Let ل be the original line and l' its image, and let ص be any point on ل. منذ ل doesn't contain any fixed points, the image of ص can't be ص itself -- so instead, it must be some point distinct from ص, which we'll call P '. So of course P ' تقع على l'. Now the point ص lies on some invariant line إل -- and by invariant, we mean that P ' lies on it. Now through the two points ص و P ', there is exactly one line, and that line is إل, not ل. منذ ص تقع على ل, it means that ص' can't lie on ل. But this is true for every point ص على ل. For every point ص على ل, ص' is not on ل. وبالتالي ل can't intersect its image l', since every point on ل fails to have an image on ل. In other words, ل and its image l' are parallel. QED

And so to prove the Line Parallel to Mirror Theorem, it suffices to show that any reflection satisfies the hypotheses of the lemma. We know that the reflection image of a line is a line (part of the Reflection Postulate), and we know that through any point ص not on the mirror م, there is a line through ص perpendicular to م (Uniqueness of Perpendiculars Theorem) -- which matters because the lines perpendicular to the mirror are invariant lines (Line Perpendicular to Mirror Theorem). So the hypotheses of the lemma are satisfied. Any line parallel to the mirror is parallel to its image. QED

This is a valid proof, but it's inappropriate for a high school geometry class. Providing a lemma that works for a wide variety of transformations and then showing that reflections are the correct type of transformation requires a level of abstraction that we don't expect high school students to have. So instead, we must prove the theorem for each of the types of transformations. But doing it in the case of reflections will prepare the students for the proof from Wu, who does it with 180-degree rotations.

But now we ask, is this a good time to provide the Line Parallel to Mirror Theorem? It makes sense that I'm giving it before the Wu proofs, but does it make sense to put it in the same lesson as the Two Perpendiculars Theorem -- especially since neither theorem is used to prove the other? In some ways, these two theorems do have something in common. These two theorems are our first Parallel Tests -- that is, they are used to prove that lines are parallel. They are both of the form "if two lines have some property (such as each being perpendicular to a third line, or one line being the mirror image of another over a parallel third line), then the lines are parallel."

For these proofs, I use the U of Chicago definition of parallel -- that is, two coplanar lines are parallel if and only if they have no points in common, or they are identical. As I mentioned in July, this U of Chicago definition of parallel allows me to avoid indirect proofs. Notice that the following definitions of parallel are equivalent to "Two lines have no points in common or are identical":

-- If two lines have one point in common, then they have every point in common.
-- If two lines have one point not in common, then they have no point in common.

These last two are written in if-then form, and so are convenient to write as the hypothesis (or Given) and conclusion parts of a two-column proof. The first is used in our proof of the Two Perpendiculars Theorem -- we show that if two lines ك و ل, both perpendicular to line م, have one point ص in common, then they have every point in common. The second is used in our proof of the Line Parallel to Mirror Theorem -- if there is a point ص that lies on ل but not on م, then the two lines have no point in common.

These proofs will still likely confuse students. So I begin with a reminder of what it means for two lines to be parallel, using our inclusive definition. Usually, I try to include the Questions from the U of Chicago text, but I changed Lesson 3-5 so radically that I could only include a few of them.


شاهد الفيديو: JUNKYARD u0026 POWER UPGRADES! ADD 130+HP (ديسمبر 2021).